Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4.9. Доказать теорему Гельмана – Фейнмана: если гамиль-
тониан стационарной системы зависит от параметра λ, то в про-
извольном стационарном состоянии с энергией E
*
∂
ˆ
H
∂λ
+
=
∂E
∂λ
. (4.13)
Решение. Вначале формально продифференцируем стационарное урав-
нение Шредингера (4.7) по параметру λ, затем домножим его слева на
Ψ
∗
(ξ) и проинтегрируем по ξ с учетом нормировки Ψ(ξ) на 1:
hΨ|
∂
ˆ
H
∂λ
|Ψi + hΨ|
ˆ
H
∂Ψ
∂λ
=
∂E
∂λ
+ E hΨ
∂Ψ
∂λ
. (4.14)
Воспользуемся теперь самосопряженностью гамильтониана:
hΨ|
ˆ
H
∂Ψ
∂λ
(2.34)
=
∂Ψ
∂λ
ˆ
H |Ψi
∗
(4.7)
= E
∂Ψ
∂λ
Ψi
∗
(2.34)
= E hΨ
∂Ψ
∂λ
.
Теперь вторые слагаемые в обеих частях равенства (4.14) уничтожают-
ся и мы приходим к (4.13).
Пример 4.10. У частицы с массой m имеются стационарные состо-
яния Ψ
i
(r) и Ψ
f
(r) с энергиями E
i
и E
f
соответственно. Доказать
соотношение:
hΨ
f
|
ˆ
p |Ψ
i
i = imω
fi
hΨ
f
|r |Ψ
i
i, (4.15)
где ω
fi
= (E
f
− E
i
)/}.
Решение. Из условия задачи следует, что
ˆ
HΨ
i
(r) = E
i
Ψ
i
(r);
ˆ
HΨ
f
(r) = E
f
Ψ
f
(r), (4.16)
где
ˆ
H — гамильтониан частицы.
Из доказанного ранее тождества (2.21) получаем соотношение:
hΨ
f
|[r,
ˆ
H]|Ψ
i
i =
i}
m
hΨ
f
|p |Ψ
i
i.
Преобразуем его левую сторону на основании стационарных уравнений
Шредингера (4.16) и самосопряженности гамильтониана:
hΨ
f
|r
ˆ
H|Ψ
i
i
(4.16)
= E
i
hΨ
f
|r|Ψ
i
i;
hΨ
f
|
ˆ
Hr|Ψ
i
i = hΨ
f
|
ˆ
H|rΨ
i
i
(2.34)
= hrΨ
i
|
ˆ
H|Ψ
f
i
∗
(4.16)
= E
f
hΨ
f
|r|Ψ
i
i.
Мы приходим к важному соотношению (4.15). Оно используется в ана-
литических преобразованиях, а также при проверке точности прибли-
женных решений уравнения Шредингера.
53
Пример 4.9. Доказать теорему Гельмана – Фейнмана: если гамиль-
тониан стационарной системы зависит от параметра λ, то в про-
извольном стационарном состоянии с энергией E
                         �      �
                           ∂ Ĥ     ∂E
                                  =    .                 (4.13)
                           ∂λ       ∂λ

Решение. Вначале формально продифференцируем стационарное урав-
нение Шредингера (4.7) по параметру λ, затем домножим его слева на
Ψ∗ (ξ) и проинтегрируем по ξ с учетом нормировки Ψ(ξ) на 1:
                                    �    �              �    �
                 ∂ Ĥ               � ∂Ψ     ∂E         � ∂Ψ
             �Ψ|      |Ψ� + �Ψ| Ĥ ��      =    + E �Ψ ��      . (4.14)
                 ∂λ                   ∂λ     ∂λ           ∂λ
Воспользуемся теперь самосопряженностью гамильтониана:
           �    �     �    �               �    �           �    �
           � ∂Ψ (2.34) ∂Ψ �        ∗ (4.7)   ∂Ψ � ∗ (2.34)  � ∂Ψ
   �Ψ| Ĥ ��      =        � Ĥ |Ψ� = E         � Ψ� = E �Ψ �
                                                            � ∂λ .
             ∂λ         ∂λ �                 ∂λ �
Теперь вторые слагаемые в обеих частях равенства (4.14) уничтожают-
ся и мы приходим к (4.13).                                       �

Пример 4.10. У частицы с массой m имеются стационарные состо-
яния Ψi (r) и Ψf (r) с энергиями Ei и Ef соответственно. Доказать
соотношение:
                     �Ψf | p̂ |Ψi � = imωf i �Ψf | r |Ψi � , (4.15)
где ωf i = (Ef − Ei )/�.
Решение. Из условия задачи следует, что
               ĤΨi (r) = Ei Ψi (r);          ĤΨf (r) = Ef Ψf (r),        (4.16)
где Ĥ — гамильтониан частицы.
   Из доказанного ранее тождества (2.21) получаем соотношение:
                                   i�
                      �Ψf | [r, Ĥ]|Ψi � =
                                      �Ψf | p |Ψi � .
                                   m
Преобразуем его левую сторону на основании стационарных уравнений
Шредингера (4.16) и самосопряженности гамильтониана:
                 (4.16)
   �Ψf | r Ĥ|Ψi � = Ei �Ψf | r|Ψi � ;
                                   (2.34)               ∗ (4.16)
   �Ψf | Ĥr|Ψi � = �Ψf | Ĥ| rΨi � = �rΨi | Ĥ|Ψf �       = Ef �Ψf | r|Ψi � .
Мы приходим к важному соотношению (4.15). Оно используется в ана-
литических преобразованиях, а также при проверке точности прибли-
женных решений уравнения Шредингера.                           �


                                         53

Страницы