Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

т. е. пакет представляется в виде суперпозиции плоских волн де Бройля.
Коэффициенты
c(p) =
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
p
(x)Ψ(x, 0) dx =
=
1
p
2πx
0
√
π
Z
+∞
−∞
exp
−
x
2
2x
2
0
+ ik
0
x −
i
}
px
dx.
После выделения полного квадрата в показателе экспоненты последний
интеграл приводится к виду (А.4), так что
c(p) =
s
}
x
0
√
π
exp
−
x
2
0
2
p
}
− k
0
2
. (4.11)
Постановка (4.11) в (4.10) и интегрирование в соответствии с (А.4),
(А.5) приводят к явному виду волновой функции частицы:
Ψ(x, t > 0) =
1
p
x
0
√
πf(t)
exp
"
−
x
2
− 2 ix
2
0
k
0
x + i
}t
m
k
2
0
x
2
0
2x
2
0
f(t)
#
,
где
f(t) = 1 + i
}t
mx
2
0
.
Получим теперь закон изменения плотности вероятности с течением
времени:
w(x, t) = |Ψ(x, t)|
2
=
=
1
x
0
√
π
1 +
}t
mx
2
0
2
1/2
exp
−
x −
}k
0
m
t
2
1 +
}t
mx
2
0
2
. (4.12)
Легко заметить, что плотность вероятности (4.12) по-прежнему име-
ет форму гауссовой кривой с той же скоростью движения максимума.
Однако ее ширина теперь увеличивается с течением времени по закону
x
0
(t) = x
0
q
1 + [}t/(mx
2
0
)]
2
.
В начальные моменты времени скорость такого «расплывания» можно
считать постоянной и равной }/(mx
0
).
Соотношение неопределенностей для такого пакета будет выпол-
няться в любой момент времени.
52
т. е. пакет представляется в виде суперпозиции плоских волн де Бройля.
Коэффициенты
           �   +∞
  c(p) =            Ψ∗p (x)Ψ(x, 0) dx =
               −∞
                                               �             �              �
                                   1               +∞
                                                              x2         i
                           =�        √                  exp − 2 + ik0 x − px dx.
                                 2πx0 π            −∞        2x0         �

После выделения полного квадрата в показателе экспоненты последний
интеграл приводится к виду (А.4), так что
                      �            � 2�
                          �           x0 p     �2 �
               c(p) =     √ exp −          − k0 .            (4.11)
                        x0 π          2 �

Постановка (4.11) в (4.10) и интегрирование в соответствии с (А.4),
(А.5) приводят к явному виду волновой функции частицы:
                                   �                                �
                        1             x2 − 2 ix20 k0 x + i �t k
                                                           m 0 0
                                                                2 2
                                                                 x
       Ψ(x, t > 0) = � √        exp −                                ,
                      x0 πf (t)                2x0 f (t)
                                                   2


где
                                                     �t
                                  f (t) = 1 + i          .
                                                    mx20
Получим теперь закон изменения плотности вероятности с течением
времени:

  w(x, t) = |Ψ(x, t)|2 =
                                                                                    
                                                                 �      �k0
                                                                               � 2
                                   1                              x −       t       
                    =        �                          exp  − �        m         � . (4.12)
                          √        �          �2 �1/2                �
                                                                         �t
                                                                              � 2 
                        x0 π 1 +        �t                        1 + mx    2
                                       mx20                                 0



Легко заметить, что плотность вероятности (4.12) по-прежнему име-
ет форму гауссовой кривой с той же скоростью движения максимума.
Однако ее ширина теперь увеличивается с течением времени по закону
                               �
                    x0 (t) = x0 1 + [�t/(mx20 )]2 .

В начальные моменты времени скорость такого «расплывания» можно
считать постоянной и равной �/(mx0 ).
   Соотношение неопределенностей для такого пакета будет выпол-
няться в любой момент времени.                                �

                                               52

Страницы