Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 56 стр.

UptoLike

Составители: 

Глава 5.
Интегралы движения в квантовой механике
5.1. Дифференцирование операторов по времени
Частная производная оператора физической величины F по време-
ни
ˆ
F
t
получается обычным дифференцированием явной аналитиче-
ской формы оператора.
Полная производная по времени
d
ˆ
F
dt
требует специального определе-
ния: полной производной будем называть такой оператор, для которого
при усреднении в произвольном состоянии выполняется соотношение:
*
d
ˆ
F
dt
+
def
=
d
dt
h
ˆ
F i.
(5.1)
В квантовой системе с гамильтонианом
ˆ
H полная производная опе-
ратора физической величины F связана с частной производной урав-
нением движения в форме Гейзенберга:
d
ˆ
F
dt
=
ˆ
F
t
+
1
i}
[
ˆ
F ,
ˆ
H].
(5.2)
Таким образом, полная производная оператора по времени существен-
но зависит от типа взаимодействия в системе. Она может оказаться
ненулевой даже в том случае, когда оператор не зависит от времени
явно, т. е. при нулевой частной производной.
Уравнение (5.2) формально получается из известного классического
соотношения заменой физических величин их операторами, а также
скобок Пуассона коммутатором
1
i}
[. . . , . . .].
На основании (5.2) можно показать, что для полной производной
оператора по времени справедливы те же свойства, что и для произ-
водной функции, если учитывать строгий порядок следования сомно-
жителей.
Рассмотрим примеры использования соотношения (5.2).
55
Глава 5.

Интегралы движения в квантовой механике

5.1.   Дифференцирование операторов по времени
   Частная производная оператора физической величины F по време-
   ∂ F̂
ни      получается обычным дифференцированием явной аналитиче-
    ∂t
ской формы оператора.
                                  dF̂
   Полная производная по времени      требует специального определе-
                                  dt
ния: полной производной будем называть такой оператор, для которого
при усреднении в произвольном состоянии выполняется соотношение:
                         �         �
                             dF̂       def   d
                                       =        �F̂ �.         (5.1)
                             dt              dt

   В квантовой системе с гамильтонианом Ĥ полная производная опе-
ратора физической величины F связана с частной производной урав-
нением движения в форме Гейзенберга:

                       dF̂   ∂ F̂   1
                           =      + [F̂ , Ĥ].                 (5.2)
                       dt    ∂t    i�

Таким образом, полная производная оператора по времени существен-
но зависит от типа взаимодействия в системе. Она может оказаться
ненулевой даже в том случае, когда оператор не зависит от времени
явно, т. е. при нулевой частной производной.
   Уравнение (5.2) формально получается из известного классического
соотношения заменой физических величин их операторами, а также
                                1
скобок Пуассона коммутатором      [. . . , . . .].
                               i�
   На основании (5.2) можно показать, что для полной производной
оператора по времени справедливы те же свойства, что и для произ-
водной функции, если учитывать строгий порядок следования сомно-
жителей.
   Рассмотрим примеры использования соотношения (5.2).


                                       55