Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Пример 5.1. Частица с массой m движется во внешнем силовом
поле с потенциальной энергией V (r). Получить явный вид операторов
скорости и ускорения частицы.
Решение. Операторы координаты и импульса не зависят от времени
явно, поэтому
∂r
∂t
= 0,
∂
ˆ
p
∂t
= 0. (5.3)
В соответствии с (5.2), (5.3) имеем:
ˆ
v =
dr
dt
=
1
i}
[r,
ˆ
H]
(2.21)
=
ˆ
p
m
; (5.4)
ˆ
w =
1
m
d
ˆ
p
dt
=
1
i}m
[
ˆ
p,
ˆ
H]
(2.22)
= −
1
m
∇V (r). (5.5)
Соотношения (5.4), (5.5) имеют классические аналоги.
Пример 5.2. Доказать квантовую теорему о вириале: если потен-
циальная энергия имеет вид ямы V (r) = V
0
r
N
, то в произвольном
стационарном состоянии для средних значений кинетической и по-
тенциальной энергии выполняется соотношение:
2hT i = NhV i. (5.6)
Решение. Введем вспомогательную величину
ˆ
F = r
ˆ
p (вириал). Очевид-
но, что в произвольном стационарном состоянии
d
dt
hrpi = 0. (5.7)
С другой стороны,
d
dt
hrpi
(5.1)
=
d
dt
(rp)
(5.7)
= 0. (5.8)
В соответствии со свойствами полной производной оператора по вре-
мени и результатами задачи из предыдущего примера
d
dt
(r
ˆ
p) =
dr
dt
ˆ
p + r
d
ˆ
p
dt
=
ˆ
p
2
m
− r∇V (r) = 2
ˆ
T − NV
0
r
N
= 2
ˆ
T − NV,
где m — масса частицы.
На основании (5.8) из последнего равенства получается (5.6).
56
Пример 5.1. Частица с массой m движется во внешнем силовом
поле с потенциальной энергией V (r). Получить явный вид операторов
скорости и ускорения частицы.
Решение. Операторы координаты и импульса не зависят от времени
явно, поэтому
                           ∂r        ∂ p̂
                              = 0,        = 0.            (5.3)
                           ∂t        ∂t
В соответствии с (5.2), (5.3) имеем:

                   dr     1         (2.21) p̂
               v̂ =   =     [r, Ĥ] =         ;                      (5.4)
                   dt    i�                m
                   1 dp̂      1           (2.22) 1
              ŵ =       =        [p̂, Ĥ] = − ∇V (r).               (5.5)
                   m dt     i�m                  m
Соотношения (5.4), (5.5) имеют классические аналоги.                      �

Пример 5.2. Доказать квантовую теорему о вириале: если потен-
циальная энергия имеет вид ямы V (r) = V0 rN , то в произвольном
стационарном состоянии для средних значений кинетической и по-
тенциальной энергии выполняется соотношение:

                              2�T � = N �V �.                        (5.6)


Решение. Введем вспомогательную величину F̂ = rp̂ (вириал). Очевид-
но, что в произвольном стационарном состоянии
                               d
                                  �rp� = 0.                          (5.7)
                               dt
С другой стороны,
                                     �             �
                      d      (5.1)       d             (5.7)
                         �rp� =             (rp)        = 0.         (5.8)
                      dt                 dt

В соответствии со свойствами полной производной оператора по вре-
мени и результатами задачи из предыдущего примера

  d          dr        dp̂   p̂2
     (rp̂) =    p̂ + r     =     − r∇V (r) = 2T̂ − N V0 rN = 2T̂ − N V,
  dt         dt        dt    m
где m — масса частицы.
   На основании (5.8) из последнего равенства получается (5.6).           �



                                     56

Страницы