Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5.2. Интегралы движения
Интегралом движения (или сохраняющейся величиной) называет-
ся физическая величина, среднее значение которой в произвольном со-
стоянии не зависит от времени.
В соответствии с определением (5.1) критерием сохранения физи-
ческой величины является равенство нулю полной производной ее опе-
ратора по времени.
В частности, если физическая величина не зависит явно от времени,
критерием ее сохранения будет коммутация ее оператора с гамильто-
нианом физической системы [см. (5.2)].
Таким образом, наличие интегралов движения полностью опреде-
ляется типом физического взаимодействия в квантовой системе, а точ-
нее — его пространственно-временн´ой симметрией.
Рассмотрим типичные примеры интегралов движения.
Пример 5.3. Показать, что если гамильтониан не зависит явно от
времени, то полная энергия будет интегралом движения.
Решение. В данной ситуации гамильтониан будет оператором полной
энергии. Поэтому после замены в (5.2)
ˆ
F →
ˆ
H мы приходим к равенству
нулю полной производной гамильтониана, т.к. в отсутствие его явной
зависимости от времени его частная производная обращается в нуль.
Пример 5.4. Показать, что в отсутствие силовых полей импульс
сохраняется.
Решение. В явный вид оператора импульса
ˆ
p = −i}∇ время не вхо-
дит, поэтому его частная производная по времени обращается в нуль и
остается найти условие обращения в нуль его коммутатора с гамильто-
нианом:
[
ˆ
H,
ˆ
p] =
1
2m
[
ˆ
p
2
,
ˆ
p]
| {z }
0
+[V,
ˆ
p]
(2.20)
= i} grad V.
Данное равенство обращается в нуль только в отсутствие внешних си-
ловых полей.
Как следствие, сохраняется проекция импульса на то направление,
вдоль которого не действуют никакие силы.
Пример 5.5. Показать, что в аксиально-симметричных силовых по-
лях проекция орбитального момента на ось симметрии является ин-
тегралом движения.
Решение. Задачу удобно решать в цилиндрических координатах
(ρ, ϕ, z), когда потенциальная функция не зависит от полярного угла
57
5.2.   Интегралы движения
   Интегралом движения (или сохраняющейся величиной) называет-
ся физическая величина, среднее значение которой в произвольном со-
стоянии не зависит от времени.
   В соответствии с определением (5.1) критерием сохранения физи-
ческой величины является равенство нулю полной производной ее опе-
ратора по времени.
   В частности, если физическая величина не зависит явно от времени,
критерием ее сохранения будет коммутация ее оператора с гамильто-
нианом физической системы [см. (5.2)].
   Таким образом, наличие интегралов движения полностью опреде-
ляется типом физического взаимодействия в квантовой системе, а точ-
нее — его пространственно-временно́й симметрией.
   Рассмотрим типичные примеры интегралов движения.
Пример 5.3. Показать, что если гамильтониан не зависит явно от
времени, то полная энергия будет интегралом движения.
Решение. В данной ситуации гамильтониан будет оператором полной
энергии. Поэтому после замены в (5.2) F̂ → Ĥ мы приходим к равенству
нулю полной производной гамильтониана, т.к. в отсутствие его явной
зависимости от времени его частная производная обращается в нуль.�

Пример 5.4. Показать, что в отсутствие силовых полей импульс
сохраняется.
Решение. В явный вид оператора импульса p̂ = −i�∇ время не вхо-
дит, поэтому его частная производная по времени обращается в нуль и
остается найти условие обращения в нуль его коммутатора с гамильто-
нианом:
                           1                    (2.20)
               [Ĥ, p̂] =    [p̂2 , p̂] +[V, p̂] = i� grad V.
                          2m � �� �
                             0

Данное равенство обращается в нуль только в отсутствие внешних си-
ловых полей.                                                    �
   Как следствие, сохраняется проекция импульса на то направление,
вдоль которого не действуют никакие силы.
Пример 5.5. Показать, что в аксиально-симметричных силовых по-
лях проекция орбитального момента на ось симметрии является ин-
тегралом движения.
Решение. Задачу удобно решать в цилиндрических координатах
(ρ, ϕ, z), когда потенциальная функция не зависит от полярного угла


                                 57

Страницы