Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Разберем несколько примеров, в которых будут вычислены норми-
ровочные константы наиболее важных волновых функций (рекоменду-
ем самостоятельно проверить их размерность!). Полученные результа-
ты мы будем неоднократно использовать в дальнейшем при изучении
курса квантовой теории.
Пример 1.1. Частица приведена в состояние с волновой функцией
Ψ(x) =
A sin
πx
a
при 0 6 x 6 a;
0 при x < 0 или x > a.
Вычислить нормировочную константу A.
Решение. Частица локализована в конечной области пространства, по-
этому в качестве условия нормировки следует взять (1.4), положив
dξ = dx:
1 = |A|
2
Z
a
0
sin
2
πx
a
dx =
1
2
|A|
2
Z
a
0
1 − sin
2πx
a
dx =
a
2
|A|
2
. (1.7)
Интеграл от второго слагаемого в (1.7) обращается в нуль из-за инте-
грирования гармонической функции по ее периоду. Таким образом, с
точностью до фазового множителя A =
p
2/a, а нормированная функ-
ция
Ψ(x) =
r
2
a
sin
πx
a
.
(1.8)
Пример 1.2. Частица приведена в состояние с волновой функцией
Ψ(x) = A exp
−
x
2
2x
2
0
,
где x
0
> 0 — константа с размерностью длины. Вычислить A.
Решение. Интеграл
Z
+∞
−∞
exp
−
x
2
x
2
0
dx (1.9)
с помощью замены переменных x/x
0
= t сводится к интегралу Пуассона
(см. (А.1)), так что |A|
2
= 1/(x
0
√
π). Окончательный ответ:
Ψ(x) =
1
p
x
0
√
π
exp
−
x
2
2x
2
0
.
(1.10)
8
   Разберем несколько примеров, в которых будут вычислены норми-
ровочные константы наиболее важных волновых функций (рекоменду-
ем самостоятельно проверить их размерность!). Полученные результа-
ты мы будем неоднократно использовать в дальнейшем при изучении
курса квантовой теории.
Пример 1.1. Частица приведена в состояние с волновой функцией
                   
                   A sin πx при 0 � x � a;
            Ψ(x) =         a
                   0         при x < 0 или x > a.

Вычислить нормировочную константу A.
Решение. Частица локализована в конечной области пространства, по-
этому в качестве условия нормировки следует взять (1.4), положив
dξ = dx:
             � a                     � a�             �
                     2 πx     1                   2πx       a
   1 = |A| 2
                 sin      dx = |A| 2
                                          1 − sin       dx = |A|2 . (1.7)
              0         a     2       0            a        2

Интеграл от второго слагаемого в (1.7) обращается в нуль из-за инте-
грирования гармонической функции по �   ее периоду. Таким образом, с
точностью до фазового множителя A = 2/a, а нормированная функ-
ция
                               �
                                  2     πx
                        Ψ(x) =      sin    .                    (1.8)
                                  a      a
                                                                       �

Пример 1.2. Частица приведена в состояние с волновой функцией
                                 �      �
                                     x2
                    Ψ(x) = A exp − 2 ,
                                    2x0

где x0 > 0 — константа с размерностью длины. Вычислить A.
Решение. Интеграл         �            �     �
                              +∞
                                        x2
                                   exp − 2       dx                 (1.9)
                              −∞        x0
с помощью замены переменных x/x √ 0 = t сводится к интегралу Пуассона
(см. (А.1)), так что |A| = 1/(x0 π). Окончательный ответ:
                        2

                                          �  �
                                   1  x2
                      Ψ(x) = � √ exp − 2 .                         (1.10)
                              x0 π    2x0


                                       8

Страницы