Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 10 стр.

Пример 1.3. Волновой пакет задается функцией
                              �           �
                                 x2
                  Ψ(x) = A exp − 2 + ik0 x ,
                                 2x0

где x0 > 0 — константа с размерностью длины, определяющая ширину
пакета, k0 — константа с размерностью волнового числа. Вычислить
нормировочную константу A.
Решение. При возведении |Ψ(x)| в квадрат слагаемое ik 0 x под знаком
экспоненты исчезает и задача сводится к вычислению интеграла (1.9)
из предыдущего примера.                                            �
   Мы рассмотрели вычисление нормировочных констант для некото-
рых функций, заданных в декартовых координатах. Теперь рассмотрим
другие системы координат.


Пример 1.4. Волновая функция, зависящая от полярного угла ϕ, за-
дается выражением
                        Ψ(ϕ) = Aeiαϕ ,                    (1.11)
где α — некоторая константа. Используя стандартные условия, опре-
делить возможные значения α и нормировать волновую функцию.

Решение. Полярный угол ϕ задает некоторое направление на плоскости
xOy относительно начала координат. При изменении этого угла на 2π
направление остается прежним, так что для выполнения условия одно-
значности функция полярного угла Ψ(ϕ) должна быть периодичной с
периодом 2π:
                        Ψ(ϕ) = Ψ(ϕ + 2π).                    (1.12)
Из явного вида функции Ψ(ϕ) (1.11) и условия периодичности (1.12)
получаем условие для определения константы α:

                                     e2πiα = 1,

откуда следует, что для функции вида (1.11) константа α должна при-
нимать только целые значения: α ≡ ml = 0, ±1, . . .
   Полярный угол ϕ может принимать значения из интервала
0 � ϕ < 2π; из (1.11) следует, что |Ψ(ϕ)|2 = |A|2 , поэтому
                    �       2π
                                 |Ψ(ϕ)|2 dϕ = 2π|A|2 = 1.
                        0




                                          9