Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Выпишем окончательный вид нормированной функции (1.11):
Ψ
m
(ϕ) =
e
imϕ
√
2π
, m = 0, ±1, . . . (1.13)
Пример 1.5. Нормировать волновые функции
Ψ
1
(θ, ϕ) = A
1
; Ψ
2
(θ, ϕ) = A
2
cos θ
на единичной сфере.
Решение. Вначале напомним вид элемента телесного угла в сфериче-
ских координатах:
dΩ = sin θ dθ dϕ, 0 6 θ 6 π; 0 6 ϕ < 2π. (1.14)
Константу A
1
получаем элементарным интегрированием:
Z
|Ψ
1
(θ, ϕ)|
2
dΩ = |A
1
|
2
Z
dΩ = 4π|A
1
|
2
= 1, откуда A
1
=
1
√
4π
.
При вычислении A
2
сделаем замену переменных cos θ = t (при этом
dt = −sin θ dθ):
Z
|Ψ
2
(θ, ϕ)|
2
dΩ = |A
2
|
2
Z
2π
0
dϕ
Z
+1
−1
t
2
dt =
4π
3
|A
2
|
2
= 1.
В результате A
2
=
r
3
4π
.
Пример 1.6. Нормировать волновую функцию
Ψ(r) = A exp
−
Zr
a
0
,
заданную во всем пространстве в сферических координатах. Здесь
a
0
> 0 — константа с размерностью длины, Z > 0 — безразмерная
константа.
Решение. Элемент объема в сферических координатах
d
3
r = r
2
dr dΩ, (1.15)
где dΩ определяется выражением (1.14).
10
   Выпишем окончательный вид нормированной функции (1.11):

                             eimϕ
                    Ψm (ϕ) = √ ,                          m = 0, ±1, . . .                    (1.13)
                               2π

                                                                                                  �

Пример 1.5. Нормировать волновые функции

                  Ψ1 (θ, ϕ) = A1 ;                   Ψ2 (θ, ϕ) = A2 cos θ

на единичной сфере.
Решение. Вначале напомним вид элемента телесного угла в сфериче-
ских координатах:

              dΩ = sin θ dθ dϕ,                 0 � θ � π;            0 � ϕ < 2π.             (1.14)

   Константу A1 получаем элементарным интегрированием:
  �                          �
                                                               1
    |Ψ1 (θ, ϕ)| dΩ = |A1 |
               2           2
                               dΩ = 4π|A1 |2 = 1, откуда A1 = √ .
                                                               4π
При вычислении A2 сделаем замену переменных cos θ = t (при этом
dt = − sin θ dθ):
       �                                �                 �
                                                2π            +1
                                                                             4π
           |Ψ2 (θ, ϕ)| dΩ = |A2 |
                     2              2
                                                     dϕ            t2 dt =      |A2 |2 = 1.
                                            0                 −1              3
                    �
                          3
В результате A2 =           .                                                                     �
                         4π
Пример 1.6. Нормировать волновую функцию
                                 �     �
                                    Zr
                     Ψ(r) = A exp −     ,
                                    a0

заданную во всем пространстве в сферических координатах. Здесь
a0 > 0 — константа с размерностью длины, Z > 0 — безразмерная
константа.
Решение. Элемент объема в сферических координатах

                                d3 r = r2 dr dΩ,                                              (1.15)

где dΩ определяется выражением (1.14).

                                                10

Страницы