Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Радиальный интеграл заменой t = 2Zr/a
0
приводится к виду (Б.11):
Z
|Ψ(r)|
2
d
3
r = |A|
2
Z
∞
0
r
2
exp
−
2Zr
a
0
dr
Z
dΩ
|
{z }
4π
=
= 4π|A|
2
a
3
0
8Z
3
Z
∞
0
t
2
e
−t
dt
| {z }
2
=
πa
3
0
Z
3
|A|
2
= 1.
Отсюда A =
p
Z
3
/πa
3
0
. Приведем окончательное выражение для нор-
мированной волновой функции:
Ψ(r) =
s
Z
3
πa
3
0
exp
−
Zr
a
0
.
(1.16)
Обращаем внимание на ее размерность.
Задачи для самостоятельного решения
1. Волновая функция задается на всей вещественной оси выражением
Ψ(x) = Ax exp
−
x
2
2x
2
0
,
где x
0
— константа с размерностью длины. Вычислить нормировочную
константу A.
(Ответ: A =
p
2/x
3
0
√
π . Указание: воспользоваться (А.3).)
2. Волновая функция задается на всей вещественной оси выражением
Ψ(x) = A
1 +
x
2
x
2
0
−1
,
где x
0
— константа с размерностью длины. Вычислить нормировочную
константу A.
(Ответ: A =
p
2/πx
0
.)
3. Волновая функция задается на положительной полуоси выражением
Ψ(x) = Ax exp
−
x
x
0
,
11
  Радиальный интеграл заменой t = 2Zr/a0 приводится к виду (Б.11):
  �                         �       ∞            �   � �
                                                 2Zr
      |Ψ(r)|2 d3 r = |A|2               r2 exp −      dr dΩ =
                                0                 a0
                                                        � �� �
                                                                       4π
                                                      3    �       ∞
                                                   2 a0                               πa30
                                         =   4π|A|                     t e 2 −t
                                                                                  dt = 3 |A|2 = 1.
                                                    8Z 3       0                      Z
                                                           �            ��         �
                                                                           2
            �
Отсюда A = Z 3 /πa30 . Приведем окончательное выражение для нор-
мированной волновой функции:
                                             �           �     �
                                                 Z3         Zr
                            Ψ(r) =                    exp −     .                             (1.16)
                                                 πa30       a0

Обращаем внимание на ее размерность.                                                                 �


Задачи для самостоятельного решения

1. Волновая функция задается на всей вещественной оси выражением
                                    �      �
                                       x2
                      Ψ(x) = Ax exp − 2 ,
                                       2x0

где x0 — константа с размерностью длины. Вычислить нормировочную
константу A. �       √
(Ответ: A = 2/x30 π . Указание: воспользоваться (А.3).)
2. Волновая функция задается на всей вещественной оси выражением
                                                     �     �−1
                                                x2
                                    Ψ(x) = A 1 + 2                     ,
                                                x0

где x0 — константа с размерностью длины. Вычислить нормировочную
константу A. �
(Ответ: A = 2/πx0 .)
3. Волновая функция задается на положительной полуоси выражением
                                    �     �
                                       x
                       Ψ(x) = Ax exp −     ,
                                       x0


                                                     11

Страницы