Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

                     ƒ‹€‚€ I. €‘‘Ž–ˆ€’ˆ‚›                                                                                   €‹ƒ         ›

                                             x       1.  §à¥è¨¬ë¥                                           «£¥¡àë

    ‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ à áᬠâਢ îâáï ­¥ª®â®àë¥ ä ªâë, ®â­®áïé¨-
¥áï ª ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ «£¥¡à ¬ ­ ¤ ¯®«¥¬.  ¯®¬­¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî-
饥 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥.
    Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.1. ‚¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ U ­ ¤ ¯®«¥¬ k ­ §ë-
¢ ¥âáï «£¥¡à®© ­ ¤ k, ¥á«¨ ­ U § ¤ ­® ¡¨«¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥
U  U ! U , ®¡®§­ ç ¥¬®¥ (u ; u ) ! u u , â. ¥.                      1               1               1       2

    1) u (u + u ) = u u + u u , (u + u )u = u u + u u , u ; u ; u ; 2 U ;
             1       2       3               1       2       1       3               1           2       3           1       3       2   3       1       2   3
    2) (u )u = u (u ) = (u u ),  2 k, u ; u 2 U .
                 1       2           1           2                       1       2                               1       2

    ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ U ¨¬¥¥âáï ¥é¥ ®¤­ ¡¨­ à­ ï ®¯¥à æ¨ï, ­ §ë-
¢ ¥¬ ï 㬭®¦¥­¨¥¬, á¢ï§ ­­ ï § ª®­ ¬¨ ¤¨áâਡã⨢­®áâ¨ á ®¯¥à -
樥© á«®¦¥­¨ï ¨ ᮣ« ᮢ ­­ ï á 㬭®¦¥­¨¥¬ ­ í«¥¬¥­âë ¯®«ï k.
    ®¤¯à®áâà ­á⢮ V ¢ U ­ §ë¢ ¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®©, ¥á«¨ ¤«ï x; y 2
V ¢á¥£¤ ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ xy 2 V .
    ‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¨áª«îç¨â¥«ì­® â ª¨¥ «£¥-
¡àë ­ ¤ k, ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ª®â®àëå ª®­¥ç­®¬¥à­® ­ ¤ ¯®-
Ǵ k.
    Ž¤­¨¬ ¨§ ®á­®¢­ëå ¨­áâà㬥­â®¢ ¨§ã祭¨ï áâàãªâãàë «£¥¡àë
ï¥âáï ¯®­ï⨥ ¨¤¥ « ¨ ä ªâ®à- «£¥¡àë.
    Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.2. ®¤¯à®áâà ­á⢮ I ¢          «£¥¡à¥ U ­ §ë¢ ¥âáï
«¥¢ë¬ (ᮮ⢥âá⢥­­® ¯à ¢ë¬ ¨«¨ ¤¢ãáâ®à®­­¨¬) ¨¤¥ «®¬, ¥á«¨
ua 2 I , ª®£¤ u 2 U , a 2 I (ᮮ⢥âá⢥­­® au 2 I ¨«¨ ua; au 2 I ).
    ‡ ¬¥â¨¬, çâ® á㬬 ¨ ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ «¥¢ëå (ᮮ⢥âá⢥­­® ¯à ¢ëå
¨«¨ ¤¢ãáâ®à®­­¨å) ¨¤¥ «®¢ ï¥âáï «¥¢ë¬ (ᮮ⢥âá⢥­­® ¯à ¢ë¬
¨«¨ ¤¢ãáâ®à®­­¨¬) ¨¤¥ «®¬.
    ãáâì I | ¤¢ãáâ®à®­­¨© ¨¤¥ « ¢ «£¥¡à¥ U . ’®£¤ ä ªâ®à-
  «£¥¡à®© «£¥¡àë U ¯® ¨¤¥ «ã I ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ä ªâ®à-¯à®áâà ­á⢮
U=I = fu + I , u 2 U g, 㬭®¦¥­¨¥ ¢ ª®â®à®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ¯à ¢¨«ã
(u + I )(u + I ) = u u + I .
     1               2                       1       2
     ᫨ u0 + I = u + I , u0 + I = u + I , ⮠u0 = u + x , u0 = u + x ,
                                         1                                               2                                       1           1               2       2
x ; x 2 I ¨ u0 u0 = u u + x u + u x + x x . ®í⮬ã (u0 + I )(u0 +
                     1                                       2                                                       1                               2

 1       2                                       1       2       1           2               1   2               1   2
I ) = u u + I , â. ª. x u + u x + x x 2 I . â ¯à®¢¥àª ¤®ª §ë¢ ¥â
                             1   2                                                                                                                   1           2

             1   2                               1       2       1       2               1       2
ª®à४⭮áâì ¢¢¥¤¥­­®£® 㬭®¦¥­¨ï.
    ‘ ¯®­ï⨥¬ ä ªâ®à- «£¥¡àë â¥á­® á¢ï§ ­® ¯®­ï⨥ £®¬®¬®à䨧-
¬.
    Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.3. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ ' : U ! U
                                                  0 «£¥¡àë U ¢ «£¥¡àã
U 0 ­ §ë¢ ¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬, ¥á«¨
                                                                                         3

Страницы