Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 4 стр.

    1) '( u + u ) = '(u ) + '(u ), u ; u 2 U , ; 2 k;
          1     1          2    2              1         1            2    2      1    2                 1   2
    2) '(u u ) = '(u )'(u ), u ; u 2 U .
          1    2                     1         2         1     2


      ᫨ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ' ¡¨¥ªâ¨¢­®, â® ®­® ­ §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬.
“á«®¢¨¥ ¨§®¬®àä­®á⨠«£¥¡à U ¨ U 0 ®¡®§­ ç îâ U     = U 0.
    ‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ï¤à® £®¬®¬®à䨧¬ Ker ' = fu 2 U , '(u) =
0g ï¥âáï ¤¢ãáâ®à®­­¨¬ ¨¤¥ «®¬ ¢ U . ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¥á«¨ I |
¤¢ãáâ®à®­­¨© ¨¤¥ « ¢ U , â® ®â®¡à ¦¥­¨¥ ' : U ! U=I , § ¤ ¢ ¥¬®¥
¯à ¢¨«®¬ '(u) = u + I , u 2 U , ¡ã¤¥â £®¬®¬®à䨧¬®¬ «£¥¡àë U ­
ä ªâ®à- «£¥¡àã U=I .
    ˆ¬¥îâ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 áâ ­¤ àâ­ë¥ ã⢥ত¥­¨ï.
    ’¥®à¥¬     1.1. 1) ᫨ ' | £®¬®¬®à䨧¬ «£¥¡àë U ­
             
                                                             «£¥¡àã
  0        0
U , â® U = U= Ker '.
    2) ᫨ I ¨ J | ¨¤¥ «ë ¢ U , â® I + J=J  = I=I \ J .
    3) ᫨ I ¨ J | ¨¤¥ «ë ¢ U ¨ J  I , â® I=J | ¨¤¥ « ¢ U=J ¨
U=J I=J     = U=I .
    „«ï «î¡ëå ¤¢ãå ¯®¤¯à®áâà ­á⢠    I ¨ J «£¥¡àë U ®¯à¥¤¥«¨¬
                                                                ¨å
¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¯® ä®à¬ã«¥ IJ = x y , x 2 I , y 2 J . ˆá¯®«ì§ãï
                                    P

íâ® ¯®­ï⨥, à áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯®¤¯à®áâà ­á⢠«£¥-
¡àë U :
             U = U; U = U U ; : : : ; U i = U i U i ; : : :
                    (0)                  (1)             (0)   (0)             ( +1)             ( )   ( )



Žç¥¢¨¤­®, ª ¦¤®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ U i ï¥âáï ¤¢ãáâ®à®­­¨¬                 ( +1)

¨¤¥ «®¬ ¢ U i . ᫨ áãé¥áâ¢ã¥â n â ª®¥, çâ® U n = 0, â® «£¥¡à U
                     ( )                                                                    ( )

­ §ë¢ ¥âáï à §à¥è¨¬®©.
    à¨¢¥¤¥¬ ­¥áª®«ìª® ᢮©áâ¢ à §à¥è¨¬ëå «£¥¡à.
    à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.1. 1)      ᫨ «£¥¡à U à §à¥è¨¬ , â® à §à¥è¨¬
«î¡ ï ¥¥ ¯®¤ «£¥¡à                       ¨ «î¡®© ¥¥ £®¬®¬®àä­ë© ®¡à §.
  2)    ᫨    I                           U , çâ® ä ªâ®à- «£¥¡à
                     | â ª®© à §à¥è¨¬ë© ¨¤¥ « ¢
U=I à   §à¥è¨¬ , â® à §à¥è¨¬ ¨ á ¬    «£¥¡à U .
  3)    ᫨ I ¨ J | à §à¥è¨¬ë¥ ¨¤¥ «ë ¢ U , â® ¨¤¥ « I + J â ª¦¥
à §à¥è¨¬.


„®ª § ⥫ìá⢮.     1) ãáâì U | à §à¥è¨¬ ï «£¥¡à , â. ¥. U n =                                                        ( )

0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® n, B | ¥¥ ¯®¤ «£¥¡à . ’®£¤ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï
¯®¤ «£¥¡à U i á«¥¤ã¥â B i  U i . ‚ ç áâ­®áâ¨, B n  U n , â. ¥.
                     ( )                           ( )               ( )                               ( )       ( )

B n = 0.
 ( )

     ᫨ ' : U ! B | í¯¨¬®à䨧¬ à §à¥è¨¬®© «£¥¡àë U ­ «£¥¡àã
B , â® '(U i ) = B i . ®í⮬ã B n = 0, ª®£¤ U n = 0.
              ( )              ( )                             ( )                         ( )


                                                                     4