Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 5 стр.

   2) ᫨ ä ªâ®à- «£¥¡à U=I à §à¥è¨¬ , â® U n  I = I ¤«ï( )           (0)

­¥ª®â®à®£® n. Žâáî¤ U n m  I m . ˆ§ à §à¥è¨¬®á⨠I ¯®«ãç ¥¬
                          ( +   )       (   )

U n m = 0 ¤«ï ¯®¤å®¤ïé¨å n ¨ m, çâ® ¤®ª §ë¢ ¥â ¯. 2.
 ( +   )

   3) ’ ª ª ª I | à §à¥è¨¬ë© ¨¤¥ «, â® I=I \ J | à §à¥è¨¬ ï «£¥-
¡à ¢ ᨫ㠯. 1 ¤ ­­®£® ¯à¥¤«®¦¥­¨ï. ’®£¤ I + J=J | â ª¦¥ à §à¥-
訬 ï «£¥¡à , çâ® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¯. 2 ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६ë. à¨¬¥­ïï
ª «£¥¡à¥ I + J ¨ ª ¨¤¥ «ã J ¯. 2 ¤ ­­®£® ¯à¥¤«®¦¥­¨ï, ¯®«ãç ¥¬
à §à¥è¨¬®áâì ¨¤¥ « I + J .
   ‚ ª ç¥á⢥ ¯à¨«®¦¥­¨ï à áᬮâਬ «£¥¡àã U ¨ ¥¥ ¬ ªá¨¬ «ì-
­ë© à §à¥è¨¬ë© ¨¤¥ « I , â. ¥. â ª®© à §à¥è¨¬ë© ¨¤¥ «, ª®â®àë©
­¥ ᮤ¥à¦¨âáï ­¨ ¢ ª ª®¬ ¡®«ì襬 à §à¥è¨¬®¬ ¨¤¥ «¥. ᫨ J |
«î¡®© ¤à㣮© à §à¥è¨¬ë© ¨¤¥ « ¢ U , â® ¨§ ¯. 3 ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 1.1
¢ë⥪ ¥â I + J = I (¢¢¨¤ã ¬ ªá¨¬ «ì­®á⨠¨¤¥ « I ), â. ¥. J  I .
â® ¤®ª §ë¢ ¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¥¤¨­á⢥­­®£® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® à §-
à¥è¨¬®£® ¨¤¥ « , ª®â®àë© ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì à ¤¨ª «®¬ «£¥¡àë U ¨
®¡®§­ ç âì Rad U . ᫨ U 6= 0 ¨ Rad U = 0, â® «£¥¡à U ­ §ë¢ ¥âáï
¯®«ã¯à®á⮩.
   ’¥®à¥¬    1.2.  ᫨ U ­¥à §à¥è¨¬ , â® U= Rad U ¯®«ã¯à®áâ .


„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì I | à §à¥è¨¬ë© ¨¤¥ « ä ªâ®à- «£¥¡àë
U= Rad U . Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ I ¯®«­ë© ¯à®®¡à § ¨¤¥ « I ¯à¨ ¥áâ¥-
á⢥­­®¬ £®¬®¬®à䨧¬¥ ¨§ U ­ U= Rad U . ‚ ᨫ㠯. 2 ¯à¥¤«®¦¥­¨ï
1.1 I | à §à¥è¨¬ë© ¨¤¥ «. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, I  Rad U , â. ¥. I = 0.
   ®«ã祭­ë© १ã«ìâ â ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¨§ã祭¨¥ áâàãªâãàë «î-
¡®© «£¥¡àë ᢮¤¨âáï ª ¨§ã祭¨î áâ஥­¨ï à §à¥è¨¬ëå ¨ ¯®«ã¯à®-
áâëå «£¥¡à.
           x   2. ¨«ì¯®â¥­â­®áâì           áá®æ¨ ⨢­ëå       «£¥¡à


    ãáâì A | áá®æ¨ ⨢­ ï «£¥¡à , â. ¥. ¤«ï «î¡ëå í«¥¬¥­â®¢
a; b; c 2 A ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ (ab)c = a(bc).
     áᬮâਬ á«¥¤ãîéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯®¤¯à®áâà ­á⢠«-
£¥¡àë A:
                A = A; A = AA ; : : : ; Ai = AAi; : : :
                   1      2         1               +1


‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¢ áá®æ¨ ⨢­®© «£¥¡à¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¤¢ãå
¤¢ãáâ®à®­­¨å ¨¤¥ «®¢ ï¥âáï ¤¢ãáâ®à®­­¨¬ ¨¤¥ «®¬, ᮤ¥à¦ -
騬áï ¢ ¨å ¯¥à¥á¥ç¥­¨¨. ®í⮬㠪 ¦¤®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Ai ï-
¥âáï ¨¤¥ «®¬ ¢ A ¨ ᮤ¥à¦¨âáï ¢ Ai; . €«£¥¡à A ­ §ë¢ ¥âáï ­¨«ì-
                                                1

¯®â¥­â­®©, ¥á«¨ An = 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® n.
                                        5