Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 7 стр.

   Ž¡à â­®, ¯ãáâì ¤«ï ª ¦¤®£® í«¥¬¥­â a 2 A áãé¥áâ¢ã¥â ­ âãà «ì-
­®¥ n = n(a) â ª®¥, çâ® an = 0. „®ª ¦¥¬ ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì «£¥¡àë
A ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® ¥¥ à §¬¥à­®áâ¨.
    ᫨ dim A = 1, â. ¥. A = ka, â® ¨§ ãá«®¢¨ï an = 0 á«¥¤ã¥â An = 0.
ãáâì ¤«ï «î¡®© «£¥¡àë à §¬¥à­®á⨠¬¥­ìè¥ m ã⢥ত¥­¨¥ â¥-
®à¥¬ë á¯à ¢¥¤«¨¢®.  áᬮâਬ «£¥¡àã A à §¬¥à­®á⨠m. ᫨
A 6= A, â® ¯®¤ «£¥¡à A ­¨«ì¯®â¥­â­ , â. ¥. (A )s = 0 ¤«ï ­¥ª®-
 2                        2                          2

â®à®£® s. ’®£¤ A s = 0, â. ¥. A | ­¨«ì¯®â¥­â­ ï «£¥¡à .
                     2

   ®ª ¦¥¬, çâ® á«ãç © A = A ­¥¢®§¬®¦¥­. ‡ 䨪á¨à㥬 ª ª®©-
                              2

«¨¡® ¡ §¨á e ; : : : ; em «£¥¡àë A. ’®£¤ A = Ae + 
 
 
 + Aem. ᫨
                 1
                                             2
                                                 1
A = A , â® «£¥¡à A ï¥âáï ª®­¥ç­®© á㬬®© «¥¢ëå ¨¤¥ «®¢
         2

Aei, i = 1; : : :; m. ãáâì ¢á¥ í⨠¨¤¥ «ë ᮡá⢥­­ë¥. ’®£¤ ¯® ¯à¥¤-
¯®«®¦¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨ ª ¦¤ë© ¨¤¥ « Aei ­¨«ì¯®â¥­â¥­. à¨¬¥­ïï
¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 2.2, ¯®«ãç ¥¬ ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì «£¥¡àë A. ‚ ç áâ­®-
áâ¨, A % A , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î.
             2

   à¥¤¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¤«ï ­¥ª®â®à®£® i ¨¤¥ « Aei ᮢ¯ ¤ ¥â
á A. ’®£¤ ¢ «£¥¡à¥ A áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â a â ª®©, çâ® aei = ei.
ˆâ¥à¨àãï íâ® à ¢¥­á⢮, ¨¬¥¥¬ ak ei = ei ¤«ï «î¡®£® ­ âãà «ì­®£®
k. ’ ª ª ª an = 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® n, â® ei = 0, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¨-
­ ¤«¥¦­®á⨠ei ª ¡ §¨áã «£¥¡àë A. ˆâ ª, ¯®á«¥¤­¨© á«ãç © â ª¦¥
­¥¢®§¬®¦¥­. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ãá«®¢¨ïå â¥®à¥¬ë ¢á¥£¤ A % A . Žâ-2

áî¤ , ª ª ¯®ª § ­® ¢ëè¥, ¢ë⥪ ¥â ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì «£¥¡àë A.
    ᫨ A ï¥âáï «£¥¡à®© «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢, â® ¬®¦­® ¯®«ã-
ç¨âì ¨­ä®à¬ æ¨î ® áâ஥­¨¨ ¬ âà¨æ íâ¨å ®¯¥à â®à®¢.
   ’¥®à¥¬        2.2. ãáâì A |      «£¥¡à «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©-
áâ¢ãîé¨å ­ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V .           ᫨ «î-
¡®© ®¯¥à â®à a 2 A áá®æ¨ ⨢­® ­¨«ì¯®â¥­â¥­, â® ¢ ¯à®áâà ­-
á⢥ V áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á, ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨æë ¢á¥å ®¯¥à â®à®¢ ¨§
A ¨¬¥îâ áâண® âà¥ã£®«ì­ë© ¢¨¤.
„®ª § ⥫ìá⢮. ˆ§ â¥®à¥¬ë ‚¥¤¤¥à¡¥à­           á«¥¤ã¥â, çâ® «£¥¡à A
­¨«ì¯®â¥­â­ , â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ­ âãà «ì­®¥ n â ª®¥, çâ® An = 0, ­®
An; 6= 0. ’®£¤ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V áãé¥áâ¢ã¥â áâண® ã¡ë¢ îé ï
     1

楯®çª ¨­¢ ਠ­â­ëå ¯®¤¯à®áâà ­áâ¢
                 V  AV  A V  
 
 
  An; V  AnV = 0:
                          2              1


‚롨à ï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V ¡ §¨á, ᮣ« ᮢ ­­ë© á í⮩ 楯®çª®©,
¯®«ãç ¥¬ ã⢥ত¥­¨¥ ⥮६ë.
    áᬮâਬ ªà¨â¥à¨© ­¨«ì¯®â¥­â­®á⨠ª®­¥ç­®¬¥à­®© áá®æ¨ -
⨢­®© «£¥¡àë ¢ â¥à¬¨­ å ä㭪樨 á«¥¤ .
                                  7