Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 8 стр.

   ãáâì U | «£¥¡à (­¥ ®¡ï§ ⥫쭮 áá®æ¨ ⨢­ ï) ­ ¤ k. Ž¡®-
§­ 稬 ç¥à¥§ La ®¯¥à â®à «¥¢®£® 㬭®¦¥­¨ï ¤«ï í«¥¬¥­â a «£¥¡àë
U . â. ¥. La : x ! ax, x 2 U .
   ’¥®à¥¬       2.3. ãáâì A | ª®­¥ç­®¬¥à­ ï áá®æ¨ ⨢­ ï «£¥¡à
­ ¤ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ k å à ªâ¥à¨á⨪¨ ­ã«ì. ’®£¤
A ­¨«ì¯®â¥­â­ , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ tr La = 0 8a 2 A.
„®ª § ⥫ìá⢮. “ ­¨«ì¯®â¥­â­®© «£¥¡àë A ª ¦¤ë© ¥¥ í«¥¬¥­â a
­¨«ì¯®â¥­â¥­. ˆá¯®«ì§ãï £®¬®¬®à䨧¬ ' : a ! La áá®æ¨ ⨢­®©
 «£¥¡àë A ¢ «£¥¡àã «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ Endk A, ¯®«ãç ¥¬, çâ®
ª ¦¤ë© ®¯¥à â®à La ­¨«ì¯®â¥­â¥­. ® ¢á¥ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï
­¨«ì¯®â¥­â­®£® ®¯¥à â®à à ¢­ë ­ã«î. ®í⮬ã tr La = 0, a 2 A.
   Ž¡à â­®, ¯ãáâì tr La = 0 8a 2 A. Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§  ; : : : ; n,                          1
n = dim A ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï ®¯¥à â®à La. ’ ª ª ª tr(La)k =
tr La = 0, k  1, â®, ¯à¨¬¥­ïï
       k
                          n k
                                   ª®­áâàãªæ¨î ¦®à¤ ­®¢®© ­®à¬ «ì-
­®© ä®à¬ë, ¯®«ã稬 i i = 0, k  1. ˆá¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ë ìîâ®­ ,
                          P

á¢ï§ë¢ î騥 ¢ëà ¦¥­¨ï í«¥¬¥­â à­ëå ᨬ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¬­®£®ç«¥-
                                        =1


­®¢ i, i = 1; : : :; n, ¨ á⥯¥­­ëå á㬬, ¯®«ãç ¥¬ (¢ ᨫã ⮣®, çâ®
å à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï k à ¢­ ­ã«î) i( ; : : : ; m) = 0, i = 1; : : : ; n.1
®í⮬㠢ᥠᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï i , i = 1; : : : ; n, ®¯¥à â®à La ­ã-
«¥¢ë¥, §­ ç¨â, La | ­¨«ì¯®â¥­â­ë© ®¯¥à â®à. ᫨ Lna = 0, â®
an = 0, ¯®í⮬㠫£¥¡à A á®á⮨⠨§ ­¨«ì¯®â¥­â­ëå í«¥¬¥­â®¢.
  +1

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ ‚¥¤¤¥à¡¥à­ A | ­¨«ì¯®â¥­â­ ï «£¥-
¡à .
                                   x   3. ®«ã¯à®áâë¥                «£¥¡àë


  Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.1.          Žâ®¡à ¦¥­¨¥ ( ; ) : B  B ! k ¯à®¨§¢®«ì­®©
 «£¥¡àë B ­ ¤ ¯®«¥¬ k ­ §®¢¥¬ ¡¨«¨­¥©­®© ᨬ¬¥âà¨ç­®© ¨­¢ à¨-
 ­â­®© ä®à¬®©, ¥á«¨
    1) ( b + b ; b ) = (b ; b ) + (b ; b ), ; 2 k, b ; b ; b 2 B ;
           1 1           2 2   3             1   1   3       2   2   3       1   2   1   2   3
    2) (b ; b ) = (b ; b );
           1     2         2       1
    3) (b b ; b ) = (b ; b b ).
           1 2       3         1       2 3


    ‚ ᨫã ᨬ¬¥âà¨ç­®á⨠ä®à¬ë ( ; ) ¥¥ «¥¢®¥ ï¤à® Be? = fx 2 B ,
(x; b) = 0, b 2 B g ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥¥ ¯à ¢ë¬ ï¤à®¬ Br? = fx 2 B ,
(b; x) = 0, b 2 B g, ¨ ¬®¦­® £®¢®à¨âì ¯à®áâ® ® ï¤à¥ ä®à¬ë B ? = Be? =
Br?. ᫨ ï¤à® ä®à¬ë B ? à ¢­® ­ã«î, â® ä®à¬ã ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì
­¥¢ë஦¤¥­­®©.
    €«£¥¡à㠡㤥¬ ­ §ë¢ âì ¯à®á⮩, ¥á«¨ ®­ ­¥ ᮤ¥à¦¨â ­¥âਢ¨-
 «ì­ëå ¤¢ãáâ®à®­­¨å ¨¤¥ «®¢.
                                                         8