Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 10 стр.

¥¥ à ¤¨ª « ᮢ¯ ¤ ¥â á ï¤à®¬           A? = fx 2 A, t(x; A) = 0g ¡¨«¨­¥©­®©
ä®à¬ë   t.
„®ª § ⥫ìá⢮.      Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ R à ¤¨ª « «£¥¡àë A. ᫨ b 2
R, â® ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â a 2 A ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ba ¯à¨­ ¤«¥¦¨â R
¨ ba | ­¨«ì¯®â¥­â­ë© í«¥¬¥­â ¢ A. ’®£¤ Lba | ­¨«ì¯®â¥­â­ë©
®¯¥à â®à, §­ ç¨â tr Lba = 0. ®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ ¬®¦­® § ¯¨á âì
¢ ¢¨¤¥ t(b; A) = 0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, b 2 A?, ¨«¨ R  A?.
   ãáâì ⥯¥àì b 2 A?. ˆ§ í⮣® ãá«®¢¨ï, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬
tr Lkb2 = tr LbLb2 ;1 = t(b; b k; ) = 0, k  1.  áá㦤 ï ¤ «¥¥, ª ª ¢
                   k
                               2   1

⥮६¥ 2.3, ¯®«ã稬, çâ® Lb2 | ­¨«ì¯®â¥­â­ë© ®¯¥à â®à, â. ¥. Lnb2 =
0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ­ âãà «ì­®£® n. ’®£¤ b n = 0. ‡­ ç¨â, ¯® ⥮६¥
                                                2 +1

‚¥¤¤¥à¡¥à­ ¨¤¥ « A? ­¨«ì¯®â¥­â¥­. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, A?  R.
   ‘®¥¤¨­ïï ¤¢ ¯®«ã祭­ëå ¢ª«î祭¨ï, ¨¬¥¥¬ R = A?.
   ‘«¥¤á⢨¥ 3.1. Š®­¥ç­®¬¥à­ ï áá®æ¨ ⨢­ ï «£¥¡à ­ ¤ «£¥-
¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ­ã«ì ¯®«ã¯à®áâ ⮣¤
¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ä®à¬ t ­¥¢ë஦¤¥­ .
   ˆá¯®«ì§ãï ¯®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë, ®¯¨è¥¬ áâ஥­¨¥ ª®­¥ç­®¬¥à-
­®© ¯®«ã¯à®á⮩ áá®æ¨ ⨢­®© «£¥¡àë.
   ’¥®à¥¬      3.3. ãáâì A | ¯®«ã¯à®áâ ï ª®­¥ç­®¬¥à­ ï         áá®æ¨-
 ⨢­ ï      «£¥¡à     ­ ¤   «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨-
á⨪¨ ­ã«ì. ’®£¤        A ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ¤¢ãáâ®à®­­¨å ¨¤¥         -
«®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ï¥âáï ¯à®á⮩                «£¥¡à®©.

„®ª § ⥫ìá⢮.  ’ ª ª ª A ¯®«ã¯à®áâ , â® ¢ ᨫã á«¥¤á⢨ï 3.1
ä®à¬ t ­¥¢ë஦¤¥­ . Šà®¬¥ ⮣®, ¨§ ¯®«ã¯à®áâ®âë «£¥¡àë A ¢ë-
⥪ ¥â ®âáãâá⢨¥ ¢ ­¥© ¤¢ãáâ®à®­­¨å ¨¤¥ «®¢, ª¢ ¤à âë ª®â®àëå
à ¢­ë ­ã«î. ®í⮬ã, ¨á¯®«ì§ãï ⥮६ã 3.1, ¯®«ãç ¥¬ áä®à¬ã«¨-
஢ ­­®¥ à §«®¦¥­¨¥.
                       ƒ‹€‚€ II. €‹ƒ          › ‹ˆ

              x   4. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ¯à¨¬¥àë             «£¥¡à ‹¨


  Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4.1.        €«£¥¡à L ­ ¤ ¯®«¥¬ k á ¡¨«¨­¥©­®© ®¯¥à -
樥© L  L ! L, ®¡®§­ ç ¥¬®© (x; y) ! [x; y] ¨ ­ §ë¢ ¥¬®© ª®¬¬ãâ -
â®à®¬ í«¥¬¥­â®¢ x ¨ y, ­ §ë¢ ¥âáï «£¥¡à®© ‹¨, ¥á«¨ ¢ë¯®«­ïîâáï
á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë:
  1. h[x; x] =i 0 ¤«ï
                  h     i xh 2 L; i
                      ¢á¥å
  2. x[y; z ] + y[z; x] + z; [x; y] = 0 (x; y; z 2 L).
  ®á«¥¤­ïï ªá¨®¬ ­ §ë¢ ¥âáï ⮦¤¥á⢮¬ Ÿª®¡¨.
                                         10