Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 12 стр.

(á¬. x 1) ¢ «£¥¡à¥ ‹¨ ¢ ᨫ㠥¥ ­â¨ª®¬¬ãâ ⨢­®á⨠¢á¥ ¨¤¥ «ë
¤¢ãáâ®à®­­¨¥.
   ‚ ¦­ë¬¨ ¯à¨¬¥à ¬¨ ¨¤¥ «®¢ «£¥¡àë ‹¨ L ïîâáï
   1) ¥¥ 業âà Z (L) = fx 2 L, [x; a] = 0, a 2 Lg,
   2) ¥¥ ª®¬¬ãâ ­â [L; L] = P [xk ; yk ], xk ; yk 2 L, S | «î¡®¥ ª®­¥ç-
                                  k2S
­®¥ ¬­®¦¥á⢮ .
   ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ª ª ¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ (á¬. x 1) á㬬 ¨ ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥
¤¢ãå ¨¤¥ «®¢ ïîâáï ¨¤¥ « ¬¨. ®«¥¥ ⮣®, ¤«ï              «£¥¡àë ‹¨ ¨
¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ [I; J ] =       P
                                 [xk ; yk ], xk 2 I , yk 2 J ¤¢ãå ¨¤¥ «®¢ I
                            k 2S
¨ J ï¥âáï ¨¤¥ «®¬. Š®¬¬ãâ ­â [L; L] | ç áâ­ë© á«ãç © í⮩
ª®­áâàãªæ¨¨.
     ᫨ ¢ «£¥¡à¥ ‹¨ L ­¥â ¨¤¥ «®¢, ªà®¬¥ ­¥¥ á ¬®© ¨ ­ã«ï, ¯à¨ç¥¬
[L; L] 6= 0, â® L ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®á⮩ «£¥¡à®©. Ÿá­®, çâ® ¥á«¨ L |
¯à®áâ ï «£¥¡à , â® Z (L) = 0 ¨ L = [L; L].
   à¨¬¥à. ãáâì L = sl(2; k ) = fx 2 gl(2; k ), tr x = 0g, char k 6= 2.
‚롥६ áâ ­¤ àâ­ë© ¡ §¨á ¢ L ¢ ¢¨¤¥ âà¥å ¬ âà¨æ
                       2     3             2    3     2     3
                         0 1                 0 0
                  e = 40 05 ; f = 41 05 h = 40 ;15 :    1 0

“¬­®¦¥­¨¥ ¢ «£¥¡à¥ ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥­á⢠¬¨
                 [e; f ] = h; [h; e] = 2e; [h; f ] = ;2f:
ãáâì I | ­¥­ã«¥¢®© ¨¤¥ « ¢ L ¨ ae + bf + ch | ­¥­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â
¢ I . „¢ ¦¤ë ¯à¨¬¥­ïï ª í⮬ã í«¥¬¥­âã ®¯¥à â®à ad e, ¯®«ãç ¥¬
;2be 2 I , ¯à¨¬¥­ïï ¤¢ ¦¤ë ®¯¥à â®à ad f , ¯®«ãç ¥¬ ;2af 2 I .
®í⮬ã, ¥á«¨ a ¨«¨ b ®â«¨ç­® ®â ­ã«ï, â® I ᮤ¥à¦¨â e ¨«¨ f ¨,
§­ ç¨â, I = L. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¥á«¨ a = b = 0, â® 0 6= ch 2 I , â. ¥.
h 2 I , çâ® á­®¢ ¢«¥ç¥â I = L. ‡ ª«îç ¥¬, çâ® L | ¯à®áâ ï «£¥¡à .
   ’ ª ¦¥, ª ª ¢ x 1, ¤«ï «£¥¡à ‹¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®­ï⨥ ä ªâ®à-
 «£¥¡àë, £®¬®¬®à䨧¬ ¨ ¨§®¬®à䨧¬ «£¥¡à. ˆá¯®«ì§ãï í⨠¯®­ï-
â¨ï ¤«ï «£¥¡à ‹¨, ¯®«ãç ¥¬ ã⢥ত¥­¨¥, ¤®á«®¢­® ¯®¢â®àïî饥
⥮६ã 1.1.
        x   6.  §à¥è¨¬ë¥ ¨ ­¨«ì¯®â¥­â­ë¥              «£¥¡àë ‹¨

  ‚ x 1 ¡ë«® ¢¢¥¤¥­® ¯®­ï⨥ à §à¥è¨¬®© «£¥¡àë, ¨¬¥­­®, â -
ª®¢®© ¡ë« ­ §¢ ­ «£¥¡à U , ¢ ª®â®à®© 楯®çª ¯®¤¯à®áâà ­áâ¢
U = U , U = U U ; : : : ; U i = U i U i ; : : : § ª ­ç¨¢ ¥âáï ­ã-
 (0)          (1)   (0)   (0)     ( +1)    ( )   ( )

«¥¢ë¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â n â ª®¥, çâ® U n = 0. à¨-
                                                             ( )

¬¥­ïï íâ® ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª «£¥¡à¥ ‹¨ L, ¯®«ã稬 ¯®­ï⨥ à §à¥è¨-
                                    12