Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 14 стр.

[e; f ] = ;[f; e] = f . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® i  1 Li = L = hf i 6= 0, ­®
                                                                1

L = 0, â. ¥. L à §à¥è¨¬ , ­® ­¥ ­¨«ì¯®â¥­â­ .
 (2)

    ®«¥¥ ⮣®, L | ¬ ªá¨¬ «ì­ë© ­¨«ì¯®â¥­â­ë© ¨¤¥ «, ¤«ï ª®â®-
                       1

ண® ä ªâ®à- «£¥¡à L=L ­¨«ì¯®â¥­â­ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯. 2 ¯à¥¤-
                                   1

«®¦¥­¨ï 1.1 ­¥¢¥à¥­, ¥á«¨ ãá«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠¨¤¥ « ¨ ä ªâ®à-
 «£¥¡àë § ¬¥­¨âì ­ ãá«®¢¨¥ ­¨«ì¯®â¥­â­®áâ¨. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, á㬬
¤¢ãå ­¨«ì¯®â¥­â­ëå ¨¤¥ «®¢ á­®¢ ï¥âáï ­¨«ì¯®â¥­â­ë¬ ¨¤¥ -
«®¬, â. ¥. ¯. 3 ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 1.1 á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨ § ¬¥­¥ ãá«®¢¨ï à §-
à¥è¨¬®á⨠­ ãá«®¢¨¥ ­¨«ì¯®â¥­â­®áâ¨. „«ï ¯à®¢¥àª¨ ¯®á«¥¤­¥£®
ã⢥ত¥­¨ï § ¬¥â¨¬, çâ® «î¡®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ í«¥¬¥­â®¢ «£¥¡àë
‹¨ ï¥âáï h «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ i樥© «¥¢®­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¯à®¨§¢¥¤¥-
­¨© ¢¨¤ a [a : : : [an; ; an] : : : ] . â® «¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¨­¤ãªæ¨-
               1   2           1
¥© ¯® ª®«¨ç¥áâ¢ã ¬­®¦¨â¥«¥© á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ⮦¤¥á⢠Ÿª®¡¨.
ãáâì I ¨ I | ­¨«ì¯®â¥­â­ë¥ ¨¤¥ «ë, â. ¥. I n = 0 ¨ I m = 0 ¤«ï
           1   2                                            1       2
­¥ª®â®àëå hn ¨ m. ’®£¤ «î¡®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥,   i       ¢å®¤ï饥 ¢ (I + I )n m,
                                                                        1   2
                                                                                +

¨¬¥¥â ¢¨¤ a ; [a : : : [an m; ; an m] : : : ] , £¤¥ ª ¦¤®¥ ai ¯à¨­ ¤«¥¦¨â
               1       2       +       1   +
«¨¡® I , «¨¡® I . ãáâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠ª®«¨ç¥á⢮ ¬­®¦¨â¥«¥©,
       1           2
¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å I , ¢ ­¥ª®â®à®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¨ à ¢­® k, £¤¥ k  n. ’®-
                           1
£¤ , ¨á¯®«ì§ãï â®â ä ªâ, çâ® [I s; L]  I s, ¯®«ã稬, çâ® ¤ ­­®¥ ¯à®-
                                           1        1
¨§¢¥¤¥­¨¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â k-© á⥯¥­¨ ¨¤¥ « I , ª®â®à ï à ¢­ ­ã«î.
                                                        1
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­®
  à¥¤«®¦¥­¨¥ 6.1. ‘㬬                    ¤¢ãå ­¨«ì¯®â¥­â­ëå ¨¤¥ «®¢ ¥áâì
­¨«ì¯®â¥­â­ë© ¨¤¥ «.

  à¨¬¥­ïï à áá㦤¥­¨¥, ­ «®£¨ç­®¥ à áá㦤¥­¨î ¨§ x 1, ¤«ï
à §à¥è¨¬ëå «£¥¡à ¨¬¥¥¬
  ‘«¥¤á⢨¥ 6.1. ‹î¡ ï ª®­¥ç­®¬¥à­ ï     «£¥¡à ‹¨ ¨¬¥¥â ­ ¨-
¡®«ì訩 ­¨«ì¯®â¥­â­ë© ¨¤¥ «.
  ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì íâ®â ¨¤¥ « ­¨«ìà ¤¨ª «®¬ «£¥¡àë L ¨ ®¡®§­ -
ç âì Nil(L).
  à¨¬¥à ¤¢ã¬¥à­®© à §à¥è¨¬®© «£¥¡àë ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢®§¬®¦-
­ á¨âã æ¨ï, ª®£¤ ä ªâ®à- «£¥¡à L= Nil(L) ᮤ¥à¦¨â ­¥­ã«¥¢®©
­¨«ì¯®â¥­â­ë© ¨¤¥ «. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ­¨«ìà ¤¨ª « ­¥ ®¡« ¤ ¥â å -
à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ᢮©á⢮¬ à §à¥è¨¬®£® ¨¤¥ « , ­® ¡« £®¤ àï â¥á-
­®© á¢ï§¨ íâ¨å à ¤¨ª «®¢ ­¨«ìà ¤¨ª « ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ ¨§ã祭¨¨
áâàãªâãàë «£¥¡à ‹¨.
   áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠«£¥¡à ‹¨, á¢ï§ ­­ë¥ á ­¨«ì¯®-
⥭⭮áâìî.
  à¥¤«®¦¥­¨¥ 6.2. ãáâì L | «£¥¡à ‹¨.

                                               14