Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 13 стр.

¬®© «£¥¡àë ‹¨. ‘«¥¤ã¥â § ¬¥â¨âì, çâ® ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ L | «£¥¡à
‹¨, ¥¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢠L i ïîâáï ¨¤¥ « ¬¨ «£¥¡àë ‹¨.
                             ( )

   ‚ ®¯à¥¤¥«¥­­®¬ á¬ëá«¥ ®¡é¨¬ ¯à¨¬¥à®¬ à §à¥è¨¬®© «£¥¡àë
‹¨ á«ã¦¨â «£¥¡à ¢¥àå­¥âà¥ã£®«ì­ëå ¬ âà¨æ T (n; k) = f(aij ),
i = 1; : : : ; n, j = 1; : : :; n, aij 2 k, aij = 0, i > j g. Žç¥¢¨¤­®, ¡ §¨á
í⮩ «£¥¡àë á®á⮨⠨§ ¬ âà¨ç­ëå ¥¤¨­¨æ eij , i  j , ¥¥ à §¬¥à­®áâì
à ¢­ n n .
        ( +1)
         2
   —â®¡ë ¤®ª § âì, çâ® «£¥¡à L = T (n; k) à §à¥è¨¬ , ­ ©¤¥¬ àï¤
¥¥ ª®¬¬ã⠭⮢ ¯à¨ ¯®¬®é¨ ä®à¬ã«ë
                              [eij ; ekl ] = jk eil ; liekj ;
£¤¥ rs | ᨬ¢®« Šà®­¥ª¥à . ‚ ç áâ­®áâ¨, ¨¬¥¥¬ [eii; eij ] = eij ¯à¨
i < j . Žâªã¤ á«¥¤ã¥â N (n; k)  [L; L], £¤¥ N (n; k) = f(aij ), aij = 0,
i  j g. ’ ª ª ª T (n; k) = D(n; k) + N (n; k), £¤¥ D(n; k) | «£¥¡à
¤¨ £®­ «ì­ëå ¬ âà¨æ, â® N (n; k) = [L; L].
   ‚ «£¥¡à¥ N (n; k) ¥áâ¥á⢥­­® ®¯à¥¤¥«¥­® ¯®­ï⨥ \ã஢­ï",
¨¬¥­­®, ã஢¥­ì í«¥¬¥­â eij à ¢¥­ j ; i. ‚ ä®à¬ã«¥ ¤«ï ª®¬¬ã-
â â®à®¢ ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® i < j , k < l. ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é-
­®á⨠¬®¦­® â ª¦¥ áç¨â âì, çâ® i 6= l. ’®£¤ [eij ; ekl ] = eil , ¥á«¨
j = k ¨«¨ 0 (¢ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥). Š ª á«¥¤á⢨¥, «î¡®© í«¥¬¥­â eil
ï¥âáï ª®¬¬ãâ â®à®¬ ¤¢ãå ¬ âà¨æ, ã஢­¨ ª®â®àëå ¢ á㬬¥ ¤ îâ
¥£® ã஢¥­ì. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® L ¯®à®¦¤ ¥âáï í«¥¬¥­â ¬¨ eij ,
                                                (2)

ã஢¥­ì ª®â®àëå ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢¥­ 2, L i | í«¥¬¥­â ¬¨, ã஢¥­ì
                                                      ( )

ª®â®àëå ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢¥­ 2i; .  ª®­¥æ, ®ç¥¢¨¤­®, çâ® L i = 0 ¯à¨
                                       1                          ( )

2i; > n ; 1.
   1

   „«ï à §à¥è¨¬ëå «£¥¡à ‹¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.1. ®-
í⮬ã â ª ¦¥, ª ª ¢ x 1, ¤®ª §ë¢ ¥âáï áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¥¤¨­á⢥­­®£®
¬ ªá¨¬ «ì­®£® à §à¥è¨¬®£® ¨¤¥ « ¢ L, ­ §ë¢ ¥¬®£® à ¤¨ª «®¬ «-
£¥¡àë L ¨ ®¡®§­ ç ¥¬®£® Rad L. ᫨ L 6= 0 ¨ Rad L = 0, â® «£¥¡à
L ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«ã¯à®á⮩.
   „ «¥¥ à áᬮâਬ ¯®­ï⨥ ­¨«ì¯®â¥­â­®© «£¥¡àë ‹¨. ’ ª ¦¥,
ª ª ¢ x 2, ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨¤¥ «®¢ «£¥¡àë L, ¯®« £ ï
          L = 0; L = [L; L]; L = [L; L ]; : : : ; Li = [L; Li; ]; : : :
          0           1            2              1           1



€«£¥¡à L ­ §ë¢ ¥âáï ­¨«ì¯®â¥­â­®©, ¥á«¨ Ln = 0 ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ n.
Žç¥¢¨¤­®, L i  Li ¤«ï ¢á¥å i, ¨ ¯®í⮬㠭¨«ì¯®â¥­â­ ï «£¥¡à ‹¨
                ( )

à §à¥è¨¬ .
   à¨¢¥¤¥¬ ¯à¨¬¥à, ¯®ª §ë¢ î騩, çâ® ª« áá à §à¥è¨¬ëå «£¥¡à
è¨à¥ ª« áá ­¨«ì¯®â¥­â­ëå. ãáâì L = he; f i | «£¥¡à ‹¨ à §-
¬¥à­®á⨠¤¢ á® á«¥¤ãî饩 â ¡«¨æ¥© 㬭®¦¥­¨ï: [e; e] = [f; f ] = 0,
                                           13