Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 11 стр.

   ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ ªá¨®¬ë 1, ¯à¨¬¥­¥­­®© ª í«¥¬¥­âã [x + y; x + y],
á«¥¤ã¥â ᮮ⭮襭¨¥ ­â¨ª®¬¬ãâ ⨢­®áâ¨:
   10). [x; y] = ;[y; x].
     ᫨ å à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï k ®â«¨ç­ ®â 2, â® ¨§ 10 á«¥¤ã¥â 1.
   ãáâì V | ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ¤ k. ’®-
£¤ End V ¡ã¤¥â ®¡®§­ ç âì ¬­®¦¥á⢮ «¨­¥©­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©
V ! V . Ž­® ¨¬¥¥â à §¬¥à­®áâì n ª ª ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ¤
                                           2

k, £¤¥ n = dimk V . Ž¯à¥¤¥«¨¬ ­®¢ãî ®¯¥à æ¨î [x; y] = xy ; yx,
x; y 2 End V . ‘ í⮩ ®¯¥à 樥© End V áâ ­®¢¨âáï «£¥¡à®© ‹¨ ­ ¤
k: ªá¨®¬ 1 ®ç¥¢¨¤­ , ¯à®¢¥àª ªá¨®¬ë 2 âॡã¥â ­¥¡®«ì讣®
¢ëç¨á«¥­¨ï. âã «£¥¡à㠋¨ ­ §®¢¥¬ ¯®«­®© «¨­¥©­®© «£¥¡à®© ¨
¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì gl(V ).
   ãáâì U | k- «£¥¡à á ¡¨«¨­¥©­®© ®¯¥à 樥© U  U ! U , â. ¥.
(x; y) ! xy. „¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬ ¢ «£¥¡à¥ U ­ §®¢¥¬ «¨­¥©­®¥
®â®¡à ¦¥­¨¥ D : U ! U ᮠ᢮©á⢮¬
                          D(xy) = (Dx)y + x(Dy):
‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, ç⮠ᮢ®ªã¯­®áâì ¢á¥å ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨© Der U
 «£¥¡àë U ï¥âáï ¢¥ªâ®à­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ ­ ¤ k. Šà®¬¥ ⮣®,
ª®¬¬ãâ â®à [D ; D ] ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨© á­®¢ ï¥âáï ¤¨ä-
               1           2
ä¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬. „¥©á⢨⥫쭮,
    D D (xy) = (D D x)y + (D x)(D y) + (D x)(D y) + x(D D y);
    1   2              1       2   1            2   2       1   1   2

    D D (xy) = (D D x)y + (D x)(D y) + (D x)(D y) + x(D D y):
    2   1              2       1   1            2   2       1   2   1


®í⮬ã
                 [D D ](xy) = ([D ; D ]x)y + x([D ; D ]y):
                   1       2           1    2           1   2

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, Der U | ¯®¤ «£¥¡à ¢ gl(U ). ‚ ç áâ­®áâ¨, ¤«ï «î-
¡®© «£¥¡àë ‹¨ L ®¯à¥¤¥«¥­ «£¥¡à Der U . ¥ª®â®àë¥ í«¥¬¥­âë
¯®á«¥¤­¥© ¢®§­¨ª îâ ¢¯®«­¥ ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬. ᫨ x 2 L, â®
®â®¡à ¦¥­¨¥ ad x : y ! [x; y] ï¥âáï í­¤®¬®à䨧¬®¬ ¯à®áâà ­áâ¢
L. ‚ ¤¥©á⢨⥫쭮á⨠adhx 2 Der     i L,h ¯®áª®«ìªã
                                                i h ⮦¤¥á⢮
                                                           i   Ÿª®¡¨
¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ x; [y; z ] = [x; y]; z + y[x; z ] . „¨ää¥à¥­-
æ¨à®¢ ­¨ï â ª®£® ¢¨¤ ­ §ë¢ îâáï ¢­ãâ७­¨¬¨, ¢á¥ ®áâ «ì­ë¥
| ¢­¥è­¨¬¨. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ L ! Der L, ¨¬¥î饥 ¢¨¤ x ! ad x, ­ -
§ë¢ ¥âáï ¯à¨á®¥¤¨­¥­­ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ «£¥¡àë L.
                       x   5. ˆ¤¥ «ë ¨ £®¬®¬®à䨧¬ë


  ®¤¯à®áâà ­á⢮ I «£¥¡àë ‹¨ L ­ §ë¢ ¥âáï ¨¤¥ «®¬, ¥á«¨ [x; a] 2
I ¤«ï «î¡®£® x 2 I ¨ «î¡®£® a 2 L. ‚ ®â«¨ç¨¥ ®â ®¡é¥£® á«ãç ï
                                           11