Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 9 стр.

     ’¥®à¥¬    3.1. Š®­¥ç­®¬¥à­ ï           «£¥¡à   B   ­ ¤ ¯®«¥¬   k,   ®¡« ¤ î-
é ï ­¥¢ë஦¤¥­­®© ¡¨«¨­¥©­®© ᨬ¬¥âà¨ç­®© ¨­¢ ਠ­â­®© ä®à-
¬®©, ¨ ­¥ ¨¬¥îé ï ¨¤¥ «®¢, ª¢ ¤à âë ª®â®àëå à ¢­ë ­ã«î, ï-
¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ¤¢ãáâ®à®­­¨å ¨¤¥ «®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå
ï¥âáï ¯à®á⮩       «£¥¡à®©.


„®ª § ⥫ìá⢮.           ãáâì I | ¤¢ãáâ®à®­­¨© ¨¤¥ « «£¥¡àë B . ’®£¤
I?  = fx 2 B , (x; b) = 0, b 2 I g | â ª¦¥ ¤¢ãáâ®à®­­¨© ¨¤¥ «. Ž¡®-
§­ 稬 ç¥à¥§ J ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ ¨¤¥ «®¢ I ¨ I ?. ãáâì a; b 2 J , c 2 B .
’®£¤ (ab; c) = (a; bc) = 0, â. ª. bc 2 I ?. ˆ§ ­¥¢ë஦¤¥­­®á⨠ä®à-
¬ë ­¥¬¥¤«¥­­® ¯®«ãç ¥¬ J = 0. ® ãá«®¢¨î â¥®à¥¬ë «£¥¡à B ­¥
                                2

¨¬¥¥â ­¥­ã«¥¢ëå ¤¢ãáâ®à®­­¨å ¨¤¥ «®¢, ª¢ ¤à âë ª®â®àëå à ¢­ë
­ã«î. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, J = 0.
    ®ª ¦¥¬, çâ® B = I  I ?. ‚롥६ ¡ §¨á e ; : : : ; em ¢ I . „«ï
                                                            1
«î¡®£® í«¥¬¥­â    m
                          b 2 B áãé¥áâ¢ãîâ ª®­áâ ­âë ; : : : ; m 2 k â -
                                                                1

ª¨¥, çâ® b ; i iei 2 I ?. „¥©á⢨⥫쭮, ¯®á«¥¤­¥¥ ãá«®¢¨¥ ¯à¨­ ¤-
                  P

«¥¦­®á⨠      à ¢­®á¨«ì­® à §à¥è¨¬®á⨠á¨áâ¥¬ë «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨©
               =1

 Pm
     i (ei; ej ) = (b; ej ), j = 1; : : : ; m. ® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë (ei ; ej )
i
=1
®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï, â. ª. I \ I ? = 0. ®í⮬㠤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â
b 2 B áãé¥áâ¢ãîâ í«¥¬¥­âë x 2 I , y 2 I ? â ª¨¥, çâ® b = x + y, â. ¥.
B  I  I ?.
    à¥¤¯®«®¦¨¬ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®, çâ® I | ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¤¢ãáâ®à®­-
­¨© ¨¤¥ «. ᫨ K | ¨¤¥ « «£¥¡àë I , â® ¨§ ãá«®¢¨ï KI ?  I \ I ? =
0 (ᮮ⢥âá⢥­­® I ?K  I ? \ I = 0) ­¥¬¥¤«¥­­® ¯®«ã稬, çâ® K |
¨¤¥ « ¢á¥© «£¥¡àë B . ’®£¤ ¨§ ¬¨­¨¬ «ì­®á⨠I ¢ë⥪ ¥â, çâ® «¨¡®
K = 0, «¨¡® K = I . â. ¥. I | ¯à®áâ ï «£¥¡à .
    ˆ§ ­¥¢ë஦¤¥­­®á⨠ä®à¬ë ( ; ) ­ B ¢ë⥪ ¥â ­¥¢ë஦¤¥­­®áâì
®£à ­¨ç¥­¨ï í⮩ ä®à¬ë ­ I ?. Šà®¬¥ ⮣®, «î¡®© ¨¤¥ « «£¥¡àë I ?
ï¥âáï ¨¤¥ «®¬ ¢á¥© «£¥¡àë. à¨¬¥­ïï ¨­¤ãªæ¨®­­ë¥ ¢ëª« ¤-
ª¨, «¥£ª® ¯®«ã稬 ã⢥ত¥­¨¥ ⥮६ë.
    „«ï «î¡®© ª®­¥ç­®¬¥à­®© áá®æ¨ ⨢­®© «£¥¡àë A ®¯à¥¤¥«¨¬
¡¨«¨­¥©­ãî ä®à¬ã t : A  A ! k ¯® ¯à ¢¨«ã
                              t(a; b) = tr LaLb; a; b 2 A:
‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¨ ¤¢ ¤à㣨å ᢮©á⢠¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.1 ¤«ï
ä®à¬ë t â ª¦¥ ¢ë¯®«­¥­ë.
     ’¥®à¥¬    3.2. ãáâì    A | ª®­¥ç­®¬¥à­        ï    áá®æ¨ ⨢­ ï      «£¥¡à
­ ¤   «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ­ã«ì. ’®£¤

                                        9