Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 15 стр.

  1)    ᫨     L    ­¨«ì¯®â¥­â­ , â® ¢á¥ ¥¥ ¯®¤ «£¥¡àë ¨ £®¬®¬®àä­ë¥
®¡à §ë ­¨«ì¯®â¥­â­ë.
  2)    ᫨ ­¨«ì¯®â¥­â­                       «£¥¡à        L=Z (L), â® ­¨«ì¯®â¥­â­   ¨   «-
£¥¡à   L.
„®ª § ⥫ìá⢮.     1) ã¦­® ¢®á¯à®¨§¢¥á⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ã⢥ত¥-
­¨ï 1 ¯à¥¤«®¦¥­¨ï
                    1.1.
   2) ᫨ L=Z (L) n = 0, â® Ln  Z (L). ’®£¤ Ln = [L; Ln]                      +1

[L; Z (L)] = 0.
   “á«®¢¨¥ ­¨«ì¯®â¥­â­®á⨠«£¥¡àë L ¬®¦¥â ¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ ­®
¯®-¤à㣮¬ã: ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ n (§ ¢¨áï饬 ⮫쪮 ®â L)
                        ad x ad x : : : ad xn(y) = 0
                                          1     2

¤«ï ¢á¥å xi, y 2 L. ‚ ç áâ­®áâ¨, (ad x)n = 0 ¤«ï ¢á¥å x 2 L. ᫨
⥯¥àì x | í«¥¬¥­â ¯à®¨§¢®«ì­®© «£¥¡àë ‹¨ L, â® ­ §®¢¥¬ x ad-
­¨«ì¯®â¥­â­ë¬, ¥á«¨ í­¤®¬®à䨧¬ ad x ­¨«ì¯®â¥­â¥­. ’®£¤ ¯à¥-
¤ë¤ã饥 ãá«®¢¨¥ ¬®¦­® áä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª: ¥á«¨ «£¥¡à L ­¨«ì-
¯®â¥­â­ , â® ¢á¥ ¥¥ í«¥¬¥­âë ad-­¨«ì¯®â¥­â­ë. à¨¬¥ç ⥫쭮, çâ®
¢¥à­® ¨ ®¡à â­®¥.
   ’¥®à¥¬      6.1 (­£¥«ì).    ᫨ ¢á¥ í«¥¬¥­âë «£¥¡àë ‹¨ ad-­¨«ì-
¯®â¥­â­ë, â® «£¥¡à L ­¨«ì¯®â¥­â­ .

   ‚­ ç «¥ ¤®ª ¦¥¬ á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥­¨¥.
   ’¥®à¥¬      6.2. ãáâì L |      «£¥¡à     ‹¨ «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢
gl(V ), £¤¥ V | ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ᫨ «î¡®©
í«¥¬¥­â x ¨§ L áá®æ¨ ⨢­® ­¨«ì¯®â¥­â¥­, â® L | ­¨«ì¯®â¥­â-
­ ï    «£¥¡à        ‹¨.

„®ª § ⥫ìá⢮.           ãáâì M | ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ L. Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§
A(M ) áá®æ¨ ⨢­ãî «£¥¡àã, ¯®à®¦¤¥­­ãî ¯à®áâà ­á⢮¬ M . „®-
ª ¦¥¬, çâ® A(L) | ­¨«ì¯®â¥­â­ ï áá®æ¨ ⨢­ ï «£¥¡à ¢ End V .
à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢­®¥. ’®£¤ ¢ L áãé¥áâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¯®¤-
  «£¥¡à M â ª ï, çâ® A(M ) | ­¨«ì¯®â¥­â­ ï «£¥¡à . (’ ª¨¥ ¯®¤-
  «£¥¡àë áãé¥áâ¢ãîâ, ­ ¯à¨¬¥à,    n    «î¡ ï ®¤­®¬¥à­ ï ¯®¤ «£¥¡à ‹¨
kx, x 2 L.) ãáâì A(M ) = 0, ⮣¤ ¤«ï «î¡®£® x 2 L ¨ «î-
¡ëå m ; m ; : : : ; m n; 2 M [: : : [x; m ]; : : : ; m n; ] = 0. â® «¥£ª®
        1       2             2       1                         1       2   1
¯à®¢¥à¨âì, ¥á«¨ § ¬¥­¨âì ª ¦¤ë© ª®¬¬ãâ â®à [a; b] ¥£® ¢ëà ¦¥­¨¥¬
ab ; ba.
        ᫨ x 2= M ¨ ¤«ï ­¥ª®â®àëå m ; : : : ; m n; 2 M í«¥¬¥­â x0 =
                                                            1       2   1
[: : : [x; m ]; : : :; m n; ] 2= M , â® ¨§ ¯à¨¢¥¤¥­­®£® ¢ëè¥ à ¢¥­á⢠, ¢
            1             2       2
ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â [x0; m] 2 M ¤«ï «î¡®£® m 2 M . ‚ ¯à®â¨¢­®¬
                                                      15