Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 17 стр.

xk 2 Li. ‚롨à ï ¡ §¨á, ᮣ« ᮢ ­­ë© á í⮩ 楯®çª®©, ¯®«ã稬
ã⢥ত¥­¨¥ ⥮६ë.
                                    x   7. ’¥®à¥¬        ‹¨


  €­ «®£®¬ ¬ âà¨ç­®© ä®à¬ë â¥®à¥¬ë ­£¥«ï ï¥âáï ⥮६
‹¨ ®¡ ®¤­®¢à¥¬¥­­®¬ ¯à¨¢¥¤¥­¨¨ ª âà¥ã£®«ì­®¬ã ¢¨¤ã «¨­¥©­ëå
®¯¥à â®à®¢ «î¡®© à §à¥è¨¬®© «£¥¡àë ‹¨ ­ ¤ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § -
¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ­ã«ì.
  ’¥®à¥¬    7.1 (‹¨). ãáâì L | à §à¥è¨¬ ï «£¥¡à ‹¨ «¨­¥©-
­ëå ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¢ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®-
áâà ­á⢥      V    ­ ¤    «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬             kå   à ªâ¥à¨áâ¨-
ª¨ ­ã«ì. ’®£¤           ¢ ¯à®áâà ­á⢥          V    áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á â ª®©, çâ® ¢á¥
¬ âà¨æë «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¨§           L ¨¬¥îâ ¢ ­¥¬ âà¥ã£®«ì­ë© ¢¨¤.
„®ª § ⥫ìá⢮. ‚­ ç «¥ ¤®ª ¦¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ®¡é¥£® ᮡá⢥­-
­®£® ¢¥ªâ®à ¤«ï ¢á¥å í«¥¬¥­â®¢ ¨§ L. „«ï í⮣® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¨­-
¤ãªæ¨¥© ¯® dimk L. ᫨ dimk L = 1, â® ã⢥ত¥­¨¥ ®ç¥¢¨¤­®. ’ ª
ª ª [L; L] % L, â® ¢ë¡¨à ¥¬ «î¡®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ K , ᮤ¥à¦ 饥
[L; L] ¨ ¨¬¥î饥 ª®à §¬¥à­®áâì 1 ¢ L. Žç¥¢¨¤­®, K | ¨¤¥ « ¢ L. ®
¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨ ã ¢á¥å í«¥¬¥­â®¢ ¨§ K áãé¥áâ¢ã¥â ®¡é¨©
ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à w 2 V , â. ¥. xw = (x)w, x 2 K . Ž¡®§­ 稬
ç¥à¥§ W = fw 2 V , xw = (x)w, x 2 K g ­¥­ã«¥¢®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮
¢ V.
   ®ª ¦¥¬, çâ® W ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® «£¥¡àë L. ãáâì x
| ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­â ¨§ L.  áᬮâਬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮, ­ âï-
­ã⮥ ­ ¢¥ªâ®àë w; xw; : : :; xn; w, w 2 W , ª®â®àë¥ «¨­¥©­® ­¥§ -
                                                1

                     n;
¢¨á¨¬ë, ¨ xnw = iP ixiw, i 2 k. ᫨ y 2 K , â® yxiw  (y)xiw
                            1



(mod Wi; ), i = 0; : : : ; n ; 1, £¤¥ Wj = hw; xw; : : : ; xj wi, j = 0; : : : ; n ; 1,
                           =0

           1
W; = 0.
    1

   „¥©á⢨⥫쭮, á«ãç ©, ª®£¤ i = 0, ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à®-
áâà ­á⢠W , ¯¥à¥å®¤ ®â i ª i + 1 á«¥¤ã¥â ¨§ ä®à¬ã«ë
           yxi w = xyxiw + [y; x]xiw  (y)xi w (mod Wi);
                   +1                                         +1



¯®áª®«ìªã [y; x] 2 K . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡®© í«¥¬¥­â ¨§ K ¨¬¥¥â
¢ ¡ §¨á¥ w; xw; : : :; xn; w ¯à®áâà ­á⢠Wn; ¬ âà¨æã âà¥ã£®«ì­®£®
                                1
                                                              1
¢¨¤ . ‚ ç áâ­®áâ¨, í«¥¬¥­â [y; x], y 2 K , ¨¬¥¥â ¬ âà¨æã âà¥ã£®«ì­®£®
¢¨¤ á ¤¨ £®­ «ì­ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨ ([y; x]). ®í⮬ã trW ; ([y; x]) =            1
n([y; x]). ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¢ ᨫ㠨§¢¥áâ­®£® ᢮©á⢠ä㭪樨
                                                                          n




á«¥¤ ¤«ï ª®¬¬ãâ â®à trW ; ([y; x]) = 0 (¡« £®¤ àï ¨­¢ ਠ­â­®áâ¨
                                        n   1

                                                    17