Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 19 стр.

„®ª § ⥫ìá⢮.      ãáâì a ; : : : ; ar (á ªà â­®áâﬨ m ; : : : ; mr ) | à §-
                              1                             1
«¨ç­ë¥ ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ïr ®â®¡à ¦¥­¨ï x, â ª çâ® ¥£® å à ªâ¥à¨-
áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­ à ¢¥­ iQ (T ; ai)m . ᫨ Vi = Ker(x ; ai 
 1)m , â®
                                                i                          i



V ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ¯®¤¯à®áâà ­á⢠V ; : : : ; Vr , ª ¦¤®¥ ¨§ ª®-
                                  =1
                                                        1
â®àëå ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® x. Ÿá­®, çâ® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨©
¬­®£®ç«¥­ ¤«ï x ­ Vi à ¢¥­ (T ; ai )m .         i


   ’ ª ª ª ¬­®£®ç«¥­ë (T ; ai )m , i = 1; : : : ; r, ¨ T ¢§ ¨¬­® ¯à®áâë
                                       i


(¥á«¨ ¢á¥ ai ®â«¨ç­ë ®â ­ã«ï), ⮠ᮣ« á­® ª¨â ©áª®© ⥮६¥ ®¡
®áâ ⪠å, £®¬®¬®à䨧¬ ' : k[T ] ! k[T ]=Ij , £¤¥ Ij { ¨¤¥ «ë ª®«ìæ
k[T ], ¯®à®¦¤ ¥¬ë¥ ¬­®£®ç«¥­ ¬¨ (T ; aj )m ¨ T , ï¥âáï í¯¨¬®à-
                                                    j


䨧¬®¬. (‚ á«ãç ¥, ª®£¤ ®¯¥à â®à x ¨¬¥¥â ­ã«¥¢®¥ ᮡá⢥­­®¥ §­ -
祭¨¥, ¬­®£®ç«¥­ T ®â¡à áë¢ ¥âáï.) ®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®£®ç«¥­
p(T ) 2 k[T ] â ª®©, çâ® p(T )  ai (mod(T ; ai)m ), i = 1; : : : ; r, p(T )  0
                                                        i


(mod T ). ®«®¦¨¬ q(T ) = T ; p(T ). Žç¥¢¨¤­®, ã ¬­®£®ç«¥­®¢ q(T ) ¨
p(T ) ­ã«¥¢®© ᢮¡®¤­ë© ç«¥­, â. ª. p(T )  0 (mod T ).
   ®«®¦¨¬ xs = p(x), xn = q(x). ®áª®«ìªã íâ¨ í­¤®¬®à䨧¬ë
ïîâáï ¬­®£®ç«¥­ ¬¨ ®â x, ®­¨ ª®¬¬ãâ¨àãîâ ¤àã£ á ¤à㣮¬. ’ ª-
¦¥ ®­¨ ®áâ ¢«ïîâ ¨­¢ ਠ­â­ë¬¨ ¢á¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢠Vi.
   ‘à ¢­¥­¨¥ p(T )  ai (mod(T ; ai)m ) ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®£à ­¨ç¥­¨¥
                                            i


®â®¡à ¦¥­¨ï xs ; ai 
 1 à ¢­® ­ã«î ­ Vi. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, xs ¤¥©áâ¢ã-
¥â ¤¨ £®­ «ì­® ­ Vi á ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ᮡá⢥­­ë¬ §­ 祭¨¥¬ ai. ˆá-
¯®«ì§ãï áâ஥­¨¥ ¦®à¤ ­®¢®© ­®à¬ «ì­®© ä®à¬ë ¤«ï ®¯¥à â®à x,
­¥¬¥¤«¥­­® ¯®«ãç ¥¬, çâ® ®¯¥à â®à xn = x ; xs ­¨«ì¯®â¥­â¥­.
   Žáâ «®áì ¤®ª § âì ã⢥ত¥­¨¥ ® ¥¤¨­á⢥­­®á⨠¯®«ã祭­®£®
à §«®¦¥­¨ï. ãáâì x = s + n | ¤à㣮¥ à §«®¦¥­¨¥ ®¯¥à â®à x,
¯à¨ç¥¬ s | ¯®«ã¯à®á⮩ ®¯¥à â®à, n | ­¨«ì¯®â¥­â­ë© ®¯¥à â®à ¨
®­¨ ª®¬¬ãâ¨àãîâ.
   ’ ª ª ª n ª®¬¬ãâ¨àã¥â á s, â® ®­ ª®¬¬ãâ¨àã¥â á x, á«¥¤®¢ -
⥫쭮, ¨ á xn. €­ «®£¨ç­®, ®¯¥à â®àë s ¨ xs â ª¦¥ ª®¬¬ãâ¨àãîâ.
’®£¤ ®¯¥à â®à n ; xn ­¨«ì¯®â¥­â¥­, ®¯¥à â®à xs ; s ¯®«ã¯à®áâ.
¥à¢®¥ ã⢥ত¥­¨¥ ®ç¥¢¨¤­®. à®¢¥à¨¬ ¢â®à®¥. ’ ª ª ª s ¨ xs ª®¬-
¬ãâ¨àãîâ, â® ª ¦¤®¥ ¯à®áâà ­á⢮ Vi ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® s.
ˆ§ ¯®«ã¯à®áâ®âë ®¯¥à â®à s á«¥¤ã¥â, çâ® ¥£® ®£à ­¨ç¥­¨¥ ­ Vi
â ª¦¥ ¯®«ã¯à®áâ®. ®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á ¢ Vi, ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨-
æ ®¯¥à â®à s ¤¨ £®­ «ì­ . Ž¡ê¥¤¨­ïï í⨠¡ §¨áë, ¯®«ã稬 ¡ §¨á
¯à®áâà ­á⢠V , ¢ ª®â®à®¬ ®¡ ®¯¥à â®à s ¨ xs ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¨¬¥îâ
¤¨ £®­ «ì­ë© ¢¨¤. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à xs ; s ¤¨ £®­ «¨§¨à㥬.
   ˆ§ à ¢¥­á⢠xs ; s = n ; xn ¯®«ãç ¥¬, çâ® ®¤¨­ ¨ â®â ¦¥ ®¯¥à -
â®à ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¯®«ã¯à®áâ ¨ ­¨«ì¯®â¥­â¥­. ® â ª¨¬ ¬®¦¥â ¡ëâì
⮫쪮 ­ã«¥¢®© í­¤®¬®à䨧¬. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â s = xs, n = xn.
                                       19