Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 20 стр.

  ’¥®à¥¬      8.2. ãáâì  x 2 End V (dim V < 1), x = xs + xn | à §-
«®¦¥­¨¥ †®à¤ ­ . ’®£¤ ad x = ad xs + ad xn | à §«®¦¥­¨¥ †®à-
¤ ­ ¤«ï ad x ¢ End(End V ).


„®ª § ⥫ìá⢮.    ᫨ í«¥¬¥­â y 2 End V ­¨«ì¯®â¥­â¥­, â® ­¨«ì¯®-
⥭⥭ ¨ í«¥¬¥­â ad y. „¥©á⢨⥫쭮, ad y = y ; y , £¤¥ y (a) = ya,
y (a) = ay, a 2 End V . ­¤®¬®à䨧¬ë y ¨ y ­¨«ì¯®â¥­â­ë ¢ á¨-
«ã ­¨«ì¯®â¥­â­®á⨠y. ® á㬬 ª®¬¬ãâ¨àãîé¨å ­¨«ì¯®â¥­â®¢ ¥áâì
­¨«ì¯®â¥­â­ë© í«¥¬¥­â. ®íâ®¬ã ®â®¡à ¦¥­¨¥ ad y ­¨«ì¯®â¥­â­®.
    €­ «®£¨ç­®, ¥á«¨ í«¥¬¥­â y ¯®«ã¯à®áâ, â® ¯®«ã¯à®áâ ¨ í«¥¬¥­â
ad y. à®¢¥à¨¬ íâ®. ‚롥६ ¡ §¨á v ; : : : ; vn ¢ V , ¢ ª®â®à®¬ ¬ âà¨-
                                            1
æ y ¨¬¥¥â ¢¨¤ diag(a ; : : :; an). ãáâì feij g | áâ ­¤ àâ­ë© ¡ §¨á ¢
                         1
End V , ª®â®àë© á®®â¢¥âáâ¢ã¥â v ; : : : ; vn: eij vk = jk vi. ’®£¤ ¯à®á⮥
                                   1
¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ad y(eij ) = (ai ; aj )eij . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,
¬ âà¨æ ad y ¤¨ £®­ «ì­ ¢ ¢ë¡à ­­®¬ ¡ §¨á¥ ¤«ï End V .
    ˆâ ª, í­¤®¬®à䨧¬ ad xs ¯®«ã¯à®áâ, í­¤®¬®à䨧¬ ad xn ­¨«ì-
¯®â¥­â¥­. Ž­¨ ª®¬¬ãâ¨àãîâ: [ad xs; ad xn] = ad[xs; xn] = 0. Žáâ ¥âáï
¯à¨¬¥­¨âì ¯. a) ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६ë.
              x   9. Šà¨â¥à¨© à §à¥è¨¬®á⨠Š àâ ­


   ‡¤¥áì ¨ ¢áî¤ã ¤ «¥¥ ¯®«¥ k «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâ® ¨ ¨¬¥¥â å -
à ªâ¥à¨á⨪㠭ã«ì.
   ‹¥¬¬ 9.1. ãáâì A  B | ¤¢                     ¯®¤¯à®áâà ­á⢠  ¢ gl(V ),
dimk V < 1. ®«®¦¨¬ M = fx 2 gl(V ), [x; B ]  Ag. à¥¤¯®«®-
¦¨¬, çâ® ¤«ï ­¥ª®â®à®£® x 2 M ¢ë¯®«­ï¥âáï ᢮©á⢮ tr(xy ) = 0
8y 2 M . ’®£¤ í«¥¬¥­â x ­¨«ì¯®â¥­â¥­.
„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì x = s + n | à §«®¦¥­¨¥ †®à¤ ­ ¤«ï x.
(‡¤¥áì s = xs, n = xn.) ‚롥६ ¡ §¨á v ; : : : ; vm ¢ V , ¢ ª®â®à®¬ s ¨¬¥-
                                                1
¥â ¬ âà¨æã diag(a ; : : : ; am), £¤¥ a ; : : : ; am | ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï
                     1                 1
                             m
®¯¥à â®à x. ãáâì E = iP Q ai | ¢¥ªâ®à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ­ ¤ Q
¢ k, ¯®à®¦¤¥­­®¥ ᮡá⢥­­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ a ; : : : ; am, £¤¥ Q | ¯®«¥
                             =1
                                                        1
à 樮­ «ì­ëå ç¨á¥«. ã¦­® ¤®ª § âì, çâ® s = 0, çâ® à ¢­®á¨«ì­®
à ¢¥­áâ¢ã E = 0. ®áª®«ìªã ¯à®áâà ­á⢮ E ª®­¥ç­®¬¥à­® ­ ¤ Q ,
¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® ¤¢®©á⢥­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ E  ­ã«¥¢®¥, â. ¥.
çâ® «î¡ ï «¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï f : E ! Q ­ã«¥¢ ï.
   „«ï ¤ ­­®© ä㭪樨 f ¯ãáâì y | â®â í«¥¬¥­â ¢ gl(V ), ¬ âà¨æ
ª®â®à®£® ¢ ¢ë¡à ­­®¬ ¡ §¨á¥ à ¢­ diag f (a ); : : : ; f (am . ᫨ feij g
                                                    1
| ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¡ §¨á ¨§ ¬ âà¨ç­ëå ¥¤¨­¨æ ¢ gl(V ), â®, ª ª á«¥-
¤ã¥â ¨§ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 8.2, ad s(eij ) = (ai ; aj )eij , ad y(eij ) =
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