Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 22 стр.

  ‘«¥¤á⢨¥ 9.1.    ãáâì L | «£¥¡à ‹¨ â ª ï, çâ® tr(ad x ad y) =
0 ¤«ï ¢á¥å x 2 [L; L], y 2 L. ’®£¤ «£¥¡à L à §à¥è¨¬ .
„®ª § ⥫ìá⢮. ‚ ᨫã áä®à¬ã«¨à®¢ ­­®£® à ¢¥­á⢠¨¬¥¥¬ à §-
à¥è¨¬®áâì «£¥¡àë ad L. ®áª®«ìªã Ker ad = Z (L) | à §à¥è¨¬ë©
¨¤¥ « ¢ L, â® ¨ L à §à¥è¨¬ (á¬. ¯à¥¤«®¦¥­¨¥ 1.1).
                 x   10. ®«ã¯à®áâë¥        «£¥¡àë ‹¨


   ãáâì L | ¯à®¨§¢®«ì­ ï «£¥¡à ‹¨. ᫨ x; y 2 L, â® ¯®«®¦¨¬
K (x; y) = tr(ad x ad y). ’®£¤ K | ᨬ¬¥âà¨ç­ ï ¡¨«¨­¥©­ ï ä®à¬
­ L, ª®â®à ï ­ §ë¢ ¥âáï ä®à¬®© Š¨««¨­£ . ”®à¬ K â ª¦¥ ¨­¢ -
ਠ­â ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ® K ([x; y]; z ) = K (x; [y; z ]). â® á«¥¤ã¥â ¨§
⮦¤¥á⢠¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ à £à ä : tr([a; b]c) = tr(a[b; c]), £¤¥ a, b, c
| í­¤®¬®à䨧¬ë ª®­¥ç­®¬¥à­®£® ¢¥ªâ®à­®£® ¯à®áâà ­á⢠.
   ’¥®à¥¬     10.1. ãáâì L |     «£¥¡à  ‹¨ ­ ¤        «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § -
¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ­ã«ì. ’®£¤ L ¯®«ã¯à®áâ , ¥á«¨
¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¥¥ ä®à¬     Š¨««¨­£      ­¥¢ë஦¤¥­ .


„®ª § ⥫ìá⢮.     à¥¤¯®«®¦¨¬ ¢­ ç «¥, çâ® Rad L = 0. ãáâì S =
L?   = fx 2 L, K (x; y) = 0, y 2 Lg. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î tr(ad x ad y) = 0
¤«ï «î¡ëå x 2 S , y 2 L. ‚ ç áâ­®áâ¨, tr(ad x ad y) = 0, ª®£¤ x 2
S , y 2 [S; S ]. ® ªà¨â¥à¨î à §à¥è¨¬®á⨠Š àâ ­ , «£¥¡à adL S
à §à¥è¨¬ . ® ï¤à® ®â®¡à ¦¥­¨ï ad : S ! adL S à ¢­® Z (L) \ S ,
â. ¥. ï¥âáï à §à¥è¨¬ë¬ ¨¤¥ «®¬ ¢ S . ®í⮬ã S | à §à¥è¨¬ ï
 «£¥¡à . ’ ª ª ª S | ¨¤¥ « ¢ L, â® S  Rad L = 0, â. ¥. ä®à¬
Š¨««¨­£ «£¥¡àë L ­¥¢ë஦¤¥­ .
    Ž¡à â­®, ¯ãáâì S = 0. —â®¡ë ¤®ª § âì ¯®«ã¯à®áâ®âã «£¥¡àë L,
¤®áâ â®ç­® ãáâ ­®¢¨âì, çâ® «î¡®© ¡¥«¥¢ ¨¤¥ « I ¨§ L ᮤ¥à¦¨âáï
¢ S.
    à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® x 2 I , y 2 L. ’®£¤ ª®¬¯®§¨æ¨ï ad x ad y § ¤ ¥â
®â®¡à ¦¥­¨¥ L ! L ! I ¨ (ad x ad y) ®â®¡à ¦ ¥â L ¢ [I; I ] = 0. â®
                                        2

®§­ ç ¥â, çâ® í­¤®¬®à䨧¬ ad x ad y ­¨«ì¯®â¥­â¥­. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â
0 = tr(ad x ad y) = K (x; y), â. ¥. I  S = 0.
    ˆá¯®«ì§ãï ¤®ª § ­­ãî ⥮६㠨 ⥮६ã 3.1, ¯®«ã稬 ã⢥ত¥-
­¨¥, ­ «®£¨ç­®¥ ⥮६¥ 3.4 ¤«ï áá®æ¨ ⨢­ëå «£¥¡à.
    ’¥®à¥¬     10.2. ãáâì L | ¯®«ã¯à®áâ ï «£¥¡à ‹¨ ­ ¤ «£¥¡à -
¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ­ã«ì. ’®£¤ L ¥áâì ¯àï-
¬ ï á㬬   ¨¤¥ «®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ï¥âáï ¯à®á⮩         «£¥¡à®©
ܬ.

                                  22