Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 23 стр.

   ‚ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 3.1 ¨á¯®«ì§ã¥âáï ®£à ­¨ç¥­¨¥ ¡¨«¨­¥©-
­®© ä®à¬ë ­ ¨¤¥ «¥ «£¥¡àë B . ®í⮬㠢®§­¨ª ¥â ¥áâ¥á⢥­­ë©
¢®¯à®á: ª ª ®â«¨ç ¥âáï §­ 祭¨¥ ä®à¬ë Š¨««¨­£ KI ­ ¨¤¥ «¥ I ,
à áᬠâਢ ¥¬®¬ ª ª á ¬®áâ®ïâ¥«ì­ ï «£¥¡à , ¨ §­ 祭¨¥ ä®à¬ë
Š¨««¨­£ K ­ «£¥¡à¥ L ¢ ®£à ­¨ç¥­¨¨ ­ I ? Š ª ¯®ª §ë¢ ¥â ¯à¨-
¢®¤¨¬ ï ­¨¦¥ «¥¬¬ , í⨠§­ 祭¨ï ᮢ¯ ¤ îâ.
   ‹¥¬¬ 10.1. ãáâì I | ¨¤¥ « «£¥¡àë ‹¨ L.               ᫨ KI | ä®à¬
Š¨««¨­£      ­   ¨¤¥ «¥ I (à áᬠâਢ ¥¬®¬ ª ª       «£¥¡à ‹¨),       K|
ä®à¬ Š¨««¨­£ ­          «£¥¡à¥ L, â® KI (x; y ) = K (x; y ), ª®£¤ x; y 2 I .


„®ª § ⥫ìá⢮. ‚®-¯¥à¢ëå, ¢á¯®¬­¨¬ ¯à®á⮩ ä ªâ ¨§ «¨­¥©­®©
 «£¥¡àë: ¥á«¨ W | ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ª®­¥ç­®¬¥à­®£® ¢¥ªâ®à­®£®
¯à®áâà ­á⢠V , ' | í­¤®¬®à䨧¬, ®â®¡à ¦ î騩 V ¢ W , â®
tr ' = tr 'jW . (—⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, ¤®¯®«­¨¬ ¡ §¨á ¯à®áâà ­áâ¢
W ¤® ¡ §¨á ¢ V ¨ ¯®á¬®âਬ ­ ¯®«ã稢èãîáï ¬ âà¨æã ®¯¥à â®à
'.) ᫨ ⥯¥àì x; y 2 I , â® ad x ad y | í­¤®¬®à䨧¬ ¯à®áâà ­áâ¢
L, ®â®¡à ¦ î騩 L ¢ I . ®í⮬㠥£® á«¥¤ K (x; y) = tr ad x ad y á®-
¢¯ ¤ ¥â á® á«¥¤®¬ í­¤®¬®à䨧¬ (ad x ad y)jI = (adI x)(adI y). ’ ª
ª ª tr(adI x)(adI y) = KI (x; y), â® ¯®«ãç ¥¬ ã⢥ত¥­¨¥ «¥¬¬ë.
   ‚ x 3 ¡ë«® ¯®ª § ­®, çâ® à ¤¨ª « ª®­¥ç­®¬¥à­®© áá®æ¨ ⨢­®©
 «£¥¡àë A ­ ¤ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨
­ã«ì à ¢¥­ A? = fx 2 A, t(x; y) = 0, y 2 Ag, £¤¥ t(x; y) = tr LxLy . „«ï
 «£¥¡àë ‹¨ ¥¥ à ¤¨ª « â ª¦¥ ¬®¦­® ®¯¨á âì ¢ â¥à¬¨­ å ä㭪樨
á«¥¤ .
   ’¥®à¥¬      10.3. ãáâì L | ª®­¥ç­®¬¥à­ ï «£¥¡à ‹¨ ­ ¤ «£¥-
¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ k å à ªâ¥à¨á⨪¨ ­ã«ì,                 R = Rad L
| ¥¥ à ¤¨ª «. ’®£¤ R = [L; L] = fx 2 L, K (x; [L; L]) = 0g.
                                  ?

„®ª § ⥫ìá⢮.       ᫨ a | ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­â ¨§ L â® A =
ka + R | ¯®¤ «£¥¡à ‹¨ ¢ L. Žç¥¢¨¤­®, A | à §à¥è¨¬ ï «£¥¡à ,
¯®í⮬㠨 adL A | à §à¥è¨¬ ï «£¥¡à «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©-
áâ¢ãîé¨å ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L. ‚ ᨫã â¥®à¥¬ë ‹¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á
¢ L, ¢ ª®â®à®¬ ¢á¥ ®¯¥à â®àë ¨§ adL A ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¯à¨¢®¤ïâáï ª
âà¥ã£®«ì­®¬ã ¢¨¤ã. ‡­ ç¨â, ¤«ï «î¡®£® b 2 R ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à
[ad a; ad b] ¨¬¥¥â áâண® âà¥ã£®«ì­ë© ¢¨¤, â. ¥. ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â
x ¨§ [L; R] ®¯¥à â®à ad x ­¨«ì¯®â¥­â¥­. ®«¥¥ ⮣®, áâண® âà¥ã£®«ì-
­ë© ¢¨¤ ¨¬¥¥â ¨ ¬ âà¨æ ®¯¥à â®à ad a[ad c; ad b], £¤¥ b 2 R, c 2 L.
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, K (a; [c; b]) = 0, §­ ç¨â K ([a; c]; b) = 0 ¤«ï a; c 2 L,
b 2 R. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, R  [L; L]?.
                                     23