Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

               
 f (ai) ; f (aj ) eij . ãáâì ⥯¥àì r(T ) 2 K [T ] | ¬­®£®ç«¥­ ¡¥§ ᢮¡®¤-
­®£® ç«¥­ , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãá«®¢¨ï¬ r(ai ; aj ) = f (ai) ; f (aj )
¤«ï ¢á¥å ¯ à i, j . ‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ â ª®£® ¬­®£®ç«¥­ á«¥¤ã¥â ¨§ ¨­-
â¥à¯®«ï樮­­®© ä®à¬ã«ë ‹ £à ­¦ . ¥®¤­®§­ ç­®á⨠¢ § ¤ ­­ëå
§­ 祭¨ïå ­¥â, ¯®áª®«ìªã ¨§ à ¢¥­á⢠ai ; aj = ak ; al á«¥¤ã¥â (¢¢¨¤ã
«¨­¥©­®á⨠f ) f (ai) ; f (aj ) = f (ak ) ; f (al ). Ÿá­®, çâ® ad y = r(ad s).
    ‘®£« á­® ⥮६¥ 8.2, í«¥¬¥­â ad s | ¯®«ã¯à®áâ ï ç áâì í«¥-
¬¥­â ad x, ¨ ¥¥ ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ¬­®£®ç«¥­ ®â ad x, â. ¥.
ad s = h(ad x), £¤¥ h(T ) | ¬­®£®ç«¥­ ¡¥§ ᢮¡®¤­®£®       
                                                                     ç«¥­ . ®íâ®-
¬ã ad y = r h(ad x) , ¯à¨ç¥¬ ¬­®£®ç«¥­ r h(T ) | ¡¥§ ᢮¡®¤­®£®
ç«¥­ .
    ® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ad x ®â®¡à ¦ ¥â B ¢ A, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â
ad y(B ) mA, â. ¥. y 2 M . ˆá¯®«ì§ãï ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥ tr(xy) = 0,
¯®«ã稬 iP ai f (ai) = 0. ‹¥¢ ï ç áâì à ¢¥­á⢠| íâ® Q -«¨­¥©­ ï
           =1
                                                                    m 
                                                                    P       
ª®¬¡¨­ æ¨ï í«¥¬¥­â®¢ ¨§ E . à¨¬¥­ïï f , ¯®«ã稬 i f (ai) = 0.
                                                             =1
                                                                       2



’ ª ª ª f (ai) | à 樮­ «ì­ë¥ ç¨á« , â® ®âáî¤ ¢ë⥪ ¥â ¨å à -
¢¥­á⢮ ­ã«î. ®áª®«ìªã ai ¯®à®¦¤ îâ E , äã­ªæ¨ï f ¤®«¦­ ¡ëâì
­ã«¥¢®©.
    ¥à¥¤ ⥬ ª ª áä®à¬ã«¨à®¢ âì ªà¨â¥à¨© à §à¥è¨¬®áâ¨, ¯à¨¢¥-
¤¥¬ ⮦¤¥á⢮, ­ «®£¨ç­®¥ ⮦¤¥áâ¢ã ¨§ x 3 £«. 1. ãáâì x; y; z 2
End V . ’®£¤
                              tr([x; y]z ) = tr(x[y; z ]):
„«ï ¥£® ¯à®¢¥àª¨ á«¥¤ã¥â         à áªàëâì
                                              ª®¬¬ãâ
                                                         â®àë ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï
᢮©á⢮¬ á«¥¤ tr y(xz ) = tr (xz )y .
    ’¥®à¥¬       9.1 (ªà¨â¥à¨© Š àâ ­ ). ãáâì L | ¯®¤ «£¥¡à ¢ gl(V ),
£¤¥ ¯à®áâà ­á⢮ V ª®­¥ç­®¬¥à­®. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® tr(xy ) = 0
¯à¨ ¢á¥å x 2 [L; L], y 2 L. ’®£¤ L à §à¥è¨¬ .

„®ª § ⥫ìá⢮. „®áâ â®ç­® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® «£¥¡à [L; L] ­¨«ì¯®-
⥭⭠¨«¨, çâ® à ¢­®á¨«ì­®, ¢á¥ x 2 [L; L] | áá®æ¨ ⨢­® ­¨«ì¯®-
⥭â­ë¥ í­¤®¬®à䨧¬ë (á¬. ⥮६㠝­£¥«ï).
     áᬮâਬ ¤®ª § ­­ãî «¥¬¬ã ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤ A = [L; L], B =
L. ’®£¤ M = fx 2 gl(V ), [x; L]  [L; L]g. Ÿá­®, çâ® L  M .
     ᫨ ⥯¥àì [x; y] { ®¤¨­ ¨§ ®¡à §ãîé¨å ¢ [L; L], z 2 M , â®
¢ë襯ਢ¥¤¥­­®¥ ⮦¤¥á⢮ ¤ ¥â
                    tr([x; y]z ) = tr(x[y; z ]) = tr([y; z ]x) = 0;
â. ª. [y; z ] 2 [L; L] ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¬­®¦¥á⢠M . ˆ§ ¯®«ã祭­®£®
ᮮ⭮襭¨ï ¨¬¥¥¬ ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì í«¥¬¥­â [x; y].
                                      21

Страницы