Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 18 стр.

Wn; ®â­®á¨â¥«ì­® y ¨ x). ’ ª ª ª å à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï k à ¢­
    1
­ã«î, â® ([y; x]) = 0.
   ˆá¯®«ì§ãï ¯®«ã祭­ë© ä ªâ, ¯à®¢¥à¨¬ ¨­¢ ਠ­â­®áâì ¯à®áâà ­-
á⢠W ®â­®á¨â¥«ì­® L. ãáâì x 2 L, y 2 K , w 2 W . ’®£¤
y(xw) = x(yw) + [y; x]w = x(yw) = (y)xw, â. ª. ([y; x]) = 0.
   ãáâì L = K  kz . ‚ ᨫ㠨­¢ ਠ­â­®á⨠¯à®áâà ­á⢠W ®â­®-
á¨â¥«ì­® ®¯¥à â®à z ¢ ­¥¬ áãé¥áâ¢ã¥â ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à v í⮣®
®¯¥à â®à . ® ⮣¤ xv = (x)v ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â x 2 L.
   à¥¤¯®«®¦¨¬, ç⮠㦥 ­ ©¤¥­ë i «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®-
                                     j
஢ e ; : : :; ei â ª¨å, çâ® xej = P k ek . Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ U ¯®¤¯à®-
        1
                                   k
áâà ­á⢮, ­ âï­ã⮥ ­ í⨠¢¥ªâ®àë. ’®£¤ «£¥¡à L ¤¥©áâ¢ã¥â ¢
                                     =1


ä ªâ®à-¯à®áâà ­á⢥ V=U ¯® ¯à ¢¨«ã x(v + u) = xv + U , x 2 L. â®
¤¥©á⢨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â à §à¥è¨¬ãî «£¥¡àã «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ­
ä ªâ®à-¯à®áâà ­á⢥ V=U ¨ (¯® ¤®ª § ­­®¬ã ¢ëè¥) ¢ V=U áãé¥-
áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢®© ®¡é¨© ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à v + U : x(v + U ) =
                                                      0      0
(x)(v + U ). ’®£¤ «î¡®© ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ì ei í⮣® ª« áá ¨¬¥¥â
            0                                    +1
                                         i
᢮©á⢮ xei = (x)ei + u, u = P k ek 2 U . Žç¥¢¨¤­®, ¢¥ªâ®-
                 +1         +1
                                       k
àë e ; : : : ; ei; ei «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë. —¥à¥§ ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® è £®¢
                                           =1
    1                 +1
¯®«ã稬 ¡ §¨á, 䨣ãà¨àãî騩 ¢ ã⢥ত¥­¨¨ ⥮६ë.
                  x   8.  §«®¦¥­¨¥ †®à¤ ­ {˜¥¢ ««¥


   „«ï ¯®«ã祭¨ï ªà¨â¥à¨ï à §à¥è¨¬®á⨠«£¥¡àë ‹¨ à áᬮâਬ
¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ «î¡®£® «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯®«ã¯à®-
á⮩ ¨ ­¨«ì¯®â¥­â­®© ª®¬¯®­¥­âë, ª®â®à®¥ ãâ®ç­ï¥â ⥮६㠮 ¦®à-
¤ ­®¢®© ­®à¬ «ì­®© ä®à¬¥.
   Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 8.1. Ž¯¥à â®à x 2 Endk V ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«ã¯à®-
áâë¬, ¥á«¨ ¢á¥ ª®à­¨ ¥£® ¬¨­¨¬ «ì­®£® ¬­®£®ç«¥­ à §«¨ç­ë.
   ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¯®«¥ k «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâ®, â® íâ® ®¯à¥¤¥-
«¥­¨¥ à ¢­®á¨«ì­® ¤¨ £®­ «¨§¨à㥬®á⨠®¯¥à â®à x.
  ’¥®à¥¬         8.1. ãáâì   V   | ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­-
á⢮ ­ ¤                                 k, x 2 Endk V .
                «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬

  a) ‘ãé¥áâ¢ãîâ ¥¤¨­á⢥­­ë¥ í«¥¬¥­âë xs; xn 2 Endk V , 㤮-
     ¢«¥â¢®àïî騥 á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: x = xs + xn , £¤¥ xs |
     ¯®«ã¯à®áâ, xn | ­¨«ì¯®â¥­â¥­, ¨ xs xn = xn xs .
  b) ‘ãé¥áâ¢ãîâ ¬­®£®ç«¥­ë p(T ), q(T ) ®â ®¤­®£® ¯¥à¥¬¥­­®£® ¡¥§
     ᢮¡®¤­®£® ç«¥­ â ª¨¥, çâ® xs = p(x), xn = q (x).


                                      18