Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 16 стр.

á«ãç ¥ ¢ ª ç¥á⢥ x0 ¡¥à¥¬ í«¥¬¥­â [: : : [x; m ]; : : : ; m n; ] ¨ â. ¤. —¥-
                                                  1        2   3
१ ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® è £®¢ ¯®«ã稬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â y 2 L,
y 2= M , ­® [y; m] 2 M ¤«ï «î¡®£® m 2 M . ˆ§ ¯®«ã祭­ëå ãá«®¢¨©
á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à®áâà ­á⢮ M 0 = ky  M ï¥âáï «£¥¡à®© ‹¨.
   à®¢¥à¨¬, çâ® A(M 0) | ­¨«ì¯®â¥­â­ ï áá®æ¨ ⨢­ ï «£¥¡à .
ˆá¯®«ì§ãï ãá«®¢¨¥ my = ym + m0, m; m0 2 M , «¥£ª® ¯®ª § âì, çâ®
«î¡®© í«¥¬¥­â «£¥¡àë A(M 0) ï¥âáï «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ 樥© ¬®-
­®¬®¢ ¢¨¤ yr m : : : ms, £¤¥ s < n, r < k, ¨ k | á⥯¥­ì ­¨«ì¯®â¥­â-
                 1
­®áâ¨ í«¥¬¥­â y. ‚ ç áâ­®áâ¨, «î¡®© ¬®­®¬ a ¨§ A(M 0), ã ª®â®à®£®
ª®«¨ç¥á⢮ ¬­®¦¨â¥«¥© ¨§ M ­¥ ¬¥­ìè¥ n, à ¢¥­ ­ã«î, â. ª. ¯à¨ ¯¥-
à¥áâ ­®¢ª¥ í«¥¬¥­â y á í«¥¬¥­â ¬¨ ¨§ M ª®«¨ç¥á⢮ ¬­®¦¨â¥«¥© ¨§
M á®åà ­ï¥âáï. ®í⮬㠮¤­®ç«¥­ a ¬®¦¥â ¡ëâì ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï â®-
£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ª®«¨ç¥á⢮ ¬­®¦¨â¥«¥© ¨§ M ¢ ­¥¬ ¬¥­ìè¥
n ¨ ®­¨ ¯¥à¥¬¥¦ îâáï á⥯¥­ï¬¨ í«¥¬¥­â y á ¯®ª § ⥫ﬨ ¬¥­ì-
訬¨ 祬 k. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¡é¥¥ ª®«¨ç¥á⢮ ¬­®¦¨â¥«¥© «î¡®£®
®â«¨ç­®£® ®â ­ã«ï ®¤­®ç«¥­ a ­¥ ¯à¥¢®á室¨â n;1+n(k ;1) = nk ;1.
   â¨¬ ¤®ª § ­®, çâ® ¥á«¨ ç¨á«® ¬­®¦¨â¥«¥© ®¤­®ç«¥­ a ­¥ ¬¥­ì-
è¥ nk, â® a = 0, â. ¥. «£¥¡à A(M 0) áá®æ¨ ⨢­® ­¨«ì¯®â¥­â­ . ®-
᪮«ìªã íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¬ ªá¨¬ «ì­®á⨠¯®¤ «£¥¡àë M , â® A(L)
| ­¨«ì¯®â¥­â­ ï áá®æ¨ ⨢­ ï «£¥¡à . ‚ ç áâ­®á⨠L | ­¨«ì¯®-
â¥­â­ ï «£¥¡à ‹¨.
„®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ­£¥«ï.        ᫨ ¤«ï ­¥ª®â®à®© «£¥¡àë ‹¨
L «î¡®© ®¯¥à â®à ad x, x 2 L, ­¨«ì¯®â¥­â¥­, â® «£¥¡à ‹¨ «¨­¥©-
­ëå ®¯¥à â®à®¢ ad L ­¨«ì¯®â¥­â­ ¢ ᨫ㠯।ë¤ã饩 ⥮६ë. ’ ª
ª ª ï¤à® ¯à¨á®¥¤¨­¥­­®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï «£¥¡àë L ï¥âáï 業-
â஬ Z (L) í⮩ «£¥¡àë, â® ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì «£¥¡àë ad L ®§­ ç ¥â
­¨«ì¯®â¥­â­®áâì ä ªâ®à- «£¥¡àë L=Z (L). Žâáî¤ ¢ ᨫ㠯. 2 ¯à¥¤-
«®¦¥­¨ï 6.2 ¨¬¥¥¬ ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì «£¥¡àë L.
   ‚ ¤®ª § ­­®© ä®à¬¥ ⥮६ ­£¥«ï ­ «®£¨ç­ ⥮६¥ ‚¥¤¤¥à-
¡¥à­ ¤«ï áá®æ¨ ⨢­ëå «£¥¡à.
   à¨¢¥¤¥¬ ¥é¥ ®¤­ã ä®à¬ã â¥®à¥¬ë ­£¥«ï.
   ’¥®à¥¬     6.3. ãáâì L | «£¥¡à ‹¨ «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¯à®-
áâà ­á⢠V .      ᫨ «î¡®© í«¥¬¥­â ¨§ L áá®æ¨ ⨢­® ­¨«ì¯®â¥­-
⥭, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á ¢ V â ª®©, çâ® ¬ âà¨æë «¨­¥©­ëå ®¯¥-
à â®à®¢ ¨§ L ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ª áâண® âà¥-
㣮«ì­®¬ã ¢¨¤ã.

„®ª § ⥫ìá⢮. Š ª ¡ë«® ¤®ª § ­® ¢ ⥮६¥ 6.2, áá®æ¨ ⨢­ ï
 «£¥¡à A(L) ­¨«ì¯®â¥­â­ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨¬¥¥â ¬¥á⮠楯®çª
áâண¨å ¢ª«î祭¨© V  LV
                      e L e V  


L
                                    2               e i = hx : : : x ,
                                     e n V = 0, £¤¥ L
                                                                    i1

                                        16