Алгебры Ли и ассоциативные алгебры. Корешков Н.А - 6 стр.

     à¥¤«®¦¥­¨¥ 2.1. €áá®æ¨ ⨢­ ï                                «£¥¡à   A ­¨«ì¯®â¥­â­   â®-
£¤   ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤                 ®­    à §à¥è¨¬ .


„®ª § ⥫ìá⢮.   ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯®¤¯à®áâà ­á⢠¢ à áᬠâਢ ¥-
¬ëå 楯®çª å ¨¬¥¥¬ A i  Ai . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨§ ­¨«ì¯®â¥­â­®áâ¨
                                ( )            +1

¢ë⥪ ¥â à §à¥è¨¬®áâì.
   ˆá¯®«ì§ãï áá®æ¨ ⨢­®áâì 㬭®¦¥­¨ï, «¥£ª® ¯® ¨­¤ãªæ¨¨ ¤®ª -
§ âì, çâ® A i = A . ®í⮬㠨§ A n = 0 ¢ë⥪ ¥â ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì
             ( )           2i                            ( )

 «£¥¡àë A.
   Š ª ¯®ª §ë¢ ¥â ¯à¨¢®¤¨¬ ï ­¨¦¥ ⥮६ , ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì ª®-
­¥ç­®¬¥à­®© áá®æ¨ ⨢­®© «£¥¡àë ®¡ãá«®¢«¥­ ­¨«ì¯®â¥­â­®áâìî
¥¥ í«¥¬¥­â®¢.
   ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® í«¥¬¥­â a áá®æ¨ ⨢­®© «£¥¡àë A ­¨«ì¯®-
⥭⥭, ¥á«¨ an = 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® n.
   ®ª ¦¥¬, çâ® ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì ¨¤¥ «®¢ ᮣ« ᮢ ­ á ®¯¥à 樥©
á«®¦¥­¨ï.
     à¥¤«®¦¥­¨¥ 2.2. Š®­¥ç­ ï á㬬                                «¥¢ëå ­¨«ì¯®â¥­â­ëå ¨¤¥-
 «®¢ ¥áâì ­¨«ì¯®â¥­â­ë© «¥¢ë© ¨¤¥ «.


„®ª § ⥫ìá⢮.             ¤¨­á⢥­­ë© ­¥âਢ¨ «ì­ë© ä ªâ ¢ áä®à¬ã«¨-
஢ ­­®¬ ¯à¥¤«®¦¥­¨¨ | íâ® ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì áã¬¬ë ¨¤¥ «®¢. Žç¥-
¢¨¤­ ï ¨­¤ãªæ¨ï ᢮¤¨â íâ® ã⢥ত¥­¨¥ ª á«ãç î ¤¢ãå ¨¤¥ «®¢.
ãáâì I ¨ J | «¥¢ë¥ ­¨«ì¯®â¥­â­ë¥ ¨¤¥ «ë. â. ¥. I n = 0, I m = 0 ¤«ï
­¥ª®â®àëå n ¨ m. ’®£¤ (I + J )n m = 0.              +

„¥©á⢨⥫쭮, ¢®-¯¥à¢ëå, § ¬¥â¨¬, çâ® (I +J )n m = P I k1 J r1 : : : I k J r ,
                                                                           +               s   s

     s           s
£¤¥ iP ki + jP rj = n + m. Šà®¬¥ ⮣®, ¢ ᨫ㠢ª«î祭¨ï AI s  I s ¨¬¥-
      =1    =1
                                            s
¥¬ I k1 J r1 : : : I k J r  I k J r , k = iP ki. ᫨ k  n, â® ¯®á«¥¤­¥¥ ¯à®-
                   s   s              s

                                                    =1
                                                           s
¨§¢¥¤¥­¨¥ à ¢­® ­ã«î. ‚ ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ jP rj  m ¨, ¨á¯®«ì§ãï         =1
                                                    s
¢ª«î祭¨¥ I k1 J r1 : : : I k J r  I k1 J r , r = jP rj , ®¯ïâì ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­-
                                s     s

                                                                   =1

á⢮ ­ã«î ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï I k1 J r1 : : : I k J r . à¨¢¥¤¥­­ë¥ à áá㦤¥­¨ï
                                                           s   s


®¡êïá­ïîâ ­¨«ì¯®â¥­â­®áâì ¨¤¥ « I + J .
   ’¥®à¥¬           2.1 (‚¥¤¤¥à¡¥à­). Š®­¥ç­®¬¥à­ ï áá®æ¨ ⨢­ ï «-
£¥¡à A ­¨«ì¯®â¥­â­ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ­¨«ì¯®â¥­â¥­
«î¡®© ¥¥ í«¥¬¥­â.


„®ª § ⥫ìá⢮.    ᫨ A ­¨«ì¯®â¥­â­ , â. ¥. An = 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£®
n, â® an = 0 ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â a 2 A.
                                                     6