Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 11 стр.

 Т.к. вектора e1 ,.., en линейно независимы, то α1 − β1 = ... = α n − β n = 0 ,
т.е. α1 = β1 ,..., α n = β n .
 Рассмотрим второй пункт теоремы. Из совокупности векторов
v1 ,.., vm , e1 ,.., en , удалим все те, которые линейно выражаются через

предыдущие. Оставшийся набор v1 ,.., vm , ei ,.., ei содержит все вектора
                                                                 1       s



v1 ,.., vm , в силу их линейной независимости. Предположим, что по-

лучившийся набор линейно зависим, т.е.
                        α1v1 + α 2 v2 + ... + α m vm + β i ei + ... + β i ei = 0 .
                                                         1   1               s   s



 Разделив это соотношение на ненулевой коэффициент β i с наи-                            j



большим номером, получим, что вектор ei является линейной ком-       j



бинацией предыдущих. Следовательно, набор v1 ,.., vm , ei ,.., ei – ли-              1       s



нейно независим.
 Кроме того, любой вектор пространства V является линейной ком-
бинацией базисных векторов e1 ,.., en , а значит и линейной комбина-
цией векторов v1 ,.., vm , e1 ,.., en . Но любой вектор последнего набора, по
построению, линейно выражается через вектора v1 ,.., vm , ei ,.., ei .               1   s



 Поэтому вектора v1 ,.., vm , ei ,.., ei образуют базис пространства V. Что
                                        1     s



доказывает второй пункт рассматриваемой теоремы.
 Скаляры α1 ,.., α n ∈ k , возникающие при разложении вектора v ∈ V
по базису: v = α1e1 + ... + α n en , называются координатами вектора v в
базисе e1 ,.., en . Если u = β1e1 + ... + β n en еще один вектор из V, то
v + u = (α1 + β1 )e1 + ... + (α n + β n )en , λv = ( λα1 )e1 + ... + ( λα n )en , λ ∈ k . Таким

образом, в n –мерном векторном пространстве выполняются те же
правила работы с координатами, что и в 3-мерном пространстве, а
именно: координаты суммы двух векторов равны сумме соответст-
вующих координат, а координаты произведения вектора на скаляр