Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 13 стр.

 Доказательство. Пусть пространства V и W изоморфны и ϕ –
соответствующая биекция из V на W с условием линейности. Если
v1 ,.., vn - базис пространства V, то ϕ ( v1 ),.., ϕ ( vn ) - базис W . Действи-

тельно, любой вектор w ∈ W имеет прообраз v ∈ V , т.е.
                                                    n         n
                            w = ϕ ( v ) = ϕ ( ∑ α i v i ) = ∑ α iϕ ( v i ) .
                                                   i =1      i =1

              n                              n
 Если же     ∑ α ϕ (v ) = 0 ,
             i =1
                    i   i         то ϕ ( ∑ α i vi ) = 0 . Но в силу линейности ϕ ,
                                            i =1

                                                             n
имеем: ϕ (0) = 0 . А т.к. ϕ – биекция , то                 ∑α v
                                                            i =1
                                                                    i i   = 0 . Из линейной неза-

висимости векторов v1 ,.., vn следует, что α1 = ... = α n = 0 . Итак, мы про-
верили, что вектора ϕ (v1 ),.., ϕ (vn ) образуют максимальную линейно
независимую систему в W , следовательно, dim k W = n = dim k V .
 Обратно, пусть dim k W = dim k V = n . Обозначим через v1 ,.., vn ; w1 ,.., wn
базисы в V и W . Определим отображение ϕ на базисных элементах:
ϕ (vi ) = wi , i = 1,..., n . Т.к. v1 ,.., vn базис V, то можно определить отобра-
                                                                               n      n
жение на всем пространстве V по правилу: ϕ (∑α i vi ) = ∑αi wi . По-
                                                                             i =1    i =1


строенное отображение является биекцией пространства V на про-
странство W , т.к. w1 ,.., wn базис. Линейность построенного отобра-
жения очевидна, т.е. ϕ – изоморфизм пространств V и W .
 5. Координаты вектора в новом базисе


 Пусть V n -мерное векторное пространство, а e1 ,.., en и e'1 ,.., e' n – два
его базиса. Запишем каждый вектор нового (штрихованного) базиса
e'1 ,.., e' n в виде линейной комбинации векторов старого (не штрихо-

ванного) базиса: