Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 14 стр.

                                         e'1 = t11e1 + t 21e2 + ... + t n1en
                                         ......................
                                         e' n = t1n e1 + t 2 n e2 + ... + t nn en

 или в матричной форме:
                                                                           ⎡ t11 t12 K t1n ⎤
                                                                           ⎢t    t     K t2 n ⎥
                          ( e'1 , e' 2 ,..., e' n ) = ( e1 , e2 ,..., en ) ⎢ 21 22            ⎥
                                                                           ⎢M      M          ⎥
                                                                           ⎢                  ⎥
                                                                           ⎣t n1 t n 2 K t nn ⎦

 Возникающую таким образом матрицу T называют матрицей пе-
рехода от старого базиса к новому. Как видно из ее определения,
элементами матрицы перехода являются координаты векторов но-
вого базиса (записываемые в нашей редакции по столбцам) в старом
базисе. Матрица T - невырожденная. Если столбцы матрицы T
удовлетворяют нетривиальному соотношению с коэффициентами
λ1 ,..., λn , то λ1e1′ + ... + λn en′ = 0 . Что противоречит линейной независимо-

сти базисных элементов e1′ ,..., e′n .
 Здесь ( e'1 ,..., e' n ) и ( e1 ,..., en ) матрицы, состоящие из одной строки и
n столбцов. А произведение в правой части равенства вычисляется

по обычному правилу умножения матриц.
                    n            n
 Пусть x = ∑ xi ei = ∑ x'i e'i - представление вектора x в двух данных
                   i =1         i =1


базисах. Используя выражение новых базисных векторов e'i через
старые ei получим:
                                     n            n   n
                                                                   ⎛ n   n
                                                                             ⎞
                            x = ∑ x'i e'i = ∑∑ x'i t ji e j = ∑ ⎜ ∑ x'i t ji ⎟e j .
                                i =1        i =1 j =1         j =1 ⎝ i =1    ⎠
                                                                                                   n
 Сравнивая эту запись с представлением вектора x = ∑ xi ei и ис-
                                                                                                  i =1


пользуя единственность разложения вектора по базису, имеем:
        n
x j = ∑ x ' i t ji , j = 1,..., n .
       i =1