Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 15 стр.

 В матричной форме это соотношение можно переписать следую-
щим образом:
                                 ⎛ x1 ⎞ ⎡ t11 t12 K t1n ⎤⎛ x '1 ⎞
                                 ⎜ ⎟ ⎢                      ⎥⎜ ⎟
                                 ⎜ x2 ⎟ ⎢t 21 t 22 K t 2 n ⎥⎜ x ' 2 ⎟
                                 ⎜ M ⎟=⎢M                              ,
                                                 M          ⎥⎜ M ⎟
                                 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢                    ⎥⎜⎜ ⎟⎟
                                  ⎝ xn ⎠ ⎣t n1 t n 2 K t nn ⎦⎝ x ' n ⎠

 или X ' = T −1 X , где X , X ' – столбцы координат вектора x в старом и
новых базисах, а T = [tij ].

 Пример. Пусть V – 3-мерное мерное пространство, e1 , e2 , e3 – его
базис. Вектор x в этом базисе имеет вид: x = e1 + 2e2 − e3 .
 Новый базис связан со старым формулами:                                       e'1 = e1 − e2 + e3 ,

e' 2 = 2e1 − e2 + 3e3 , e' 3 = 3e1 + e2 + 6e3 . Найдем координаты вектора x в но-

вом базисе. Т.к. вычисление обратной матрицы с помощью элемен-
тарных преобразований сводится к составлению произведения из
элементарных матриц, то применение этого произведения к столбцу
X равносильно выполнению тех же элементарных преобразований

и в том же порядке, которые производятся для приведения исходной
матрицы T к единичной.
 Иcпользуя это замечание, произведем соответствующие вычисле-
ния.
        ⎡1     2 3 1 ⎤ ⎡1 2 3 1 ⎤ ⎡1 2 3 1 ⎤ ⎡1 2 0 − 14⎤
        ⎢              ⎥ ⎢           ⎥ ⎢             ⎥ ⎢              ⎥
        ⎢ − 1 − 1 1 2 ⎥ ~ ⎢0 1 4 3 ⎥ ~ ⎢0 1 4 3 ⎥ ~ ⎢0 1 0 − 17⎥ ~
        ⎢⎣ 1   3 6 − 1⎥⎦ ⎢⎣0 1 3 − 2⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 1 − 5⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 1 − 5 ⎥⎦

                                          ⎡1 0 0 20 ⎤
                                          ⎢          ⎥
                                          ⎢0 1 0 − 17⎥
                                          ⎢⎣0 0 1 5 ⎥⎦

 Следовательно,              в     новом        базисе        вектор       x   имеет        вид:
x = 20e'1 −17e' 2 +5e' 3 .