Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 17 стр.

 Определим сумму V + W двух подпространств U и W пространства
V как совокупность векторов вида u + w , u ∈ U , w ∈ W . Если
u1 + w1 , u2 + w2 ∈ U + W , то

          α1 (u1 + w1 ) + α 2 (u 2 + w2 ) = (α 1u1 + α 2 u 2 ) + (α1 w1 + α 2 w2 ) ∈ U + W ,

  т.к. α1u1 + α 2 u2 ∈ U , α1w1 + α 2 w2 ∈ W .
 Пусть u1 ,..., u s базис U , w1 ,..., wt базис W . Тогда из определения
суммы подпространств имеем, что U + W =< u1 ,..., u s , w1 ,..., wt > . Поэто-
му базисом пространства U + W является максимальная линейно не-
зависимая подсистема ui ,..., ui , w j ,..., w j
                                       1      m        1        p
                                                                    системы u1 ,..., u s , w1 ,..., wt , а

dim k (U + W ) = m + p .

 Вычислим теперь размерность пересечения U ∩ W подпространств
U, W, которое также является подпространством.
 Любой вектор x, принадлежащий пересечению, можно записать
                                 s                     t
двумя способами: x = ∑ xi ui , x = ∑ y i wi . Если (ui1,                            …,   uin)tr – коорди-
                                i =1                  i =1


натное представление вектора                   ui ,    а [wi1, …, win]tr – аналогичное пред-
ставлению вектора wi в некотором базисе пространства V, то, при-
равнивая две записи вектора x, получим систему линейных одно-
родных уравнений для нахождения коэффициентов                                         x1 ,..., xs , y1 ,..., yt :

                                    ⎛ u11 ⎞             ⎛ u s1 ⎞     ⎛ w11 ⎞           ⎛ wt1 ⎞
                                x1 ⎜⎜ M ⎟⎟ + ... + x s ⎜⎜ M ⎟⎟ = y1 ⎜⎜ M ⎟⎟ + .. + yt ⎜⎜ M ⎟⎟ .                (6.1)
                                    ⎜ u1n ⎟             ⎜ u sn ⎟     ⎜ w1n ⎟           ⎜ wtn ⎟
                                    ⎝ ⎠                 ⎝ ⎠          ⎝     ⎠           ⎝ ⎠

 Множество решений этой системы обозначим M.
 Ранг r системы (6.1) равен максимальному числу линейно незави-
симых столбцов, т.е.             r = m + p = dim k (U + W ) .          Количество векторов в
фундаментальной                 системе                      решений             равно                 (s+t)–r=
= dim k U + dim k W − dim k (U + W ) .