Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 19 стр.

      Ее фундаментальный набор решений содержит единственный
вектор, например, (1,1,1,0). Соответственно, базисом пересечения
                                                         ⎛1⎞
U∩V является вектор                           u1 + u 2 = ⎜ 2 ⎟ .
                                                         ⎜1⎟
                                                         ⎝ ⎠

 7. Прямые суммы


 Представление любого вектора из суммы U+W двух подпро-
странств, вообще говоря, неоднозначно, и это связано с наличием
ненулевого пересечения U∩W. Если                                               U ∩W = 0 ,           то из условия
u1 + w1 = u2 + w2 следует u1 − u2 = w2 − w1 . И т.к. u1 − u2 ∈ U , а w2 − w1 ∈ W ,

то u1 − u2 = w2 − w1 = 0 . В этом случае имеет место единственность
разложения любого вектора из U+W на сумму своих компонент.
Обобщая эту ситуацию на случай n слагаемых, приходим к сле-
дующему определению:

                                                                                      ∑
                                                                                          n
 Определение 7.1. Сумма                                  U = U 1 + ... + U n = {u =           u,
                                                                                          i =1 i
                                                                                                     ui ∈ U i }   называ-

ется прямой суммой подпространств Ui, i=1,…,n, если для любого i
                                                                    )
выполняется условие:                             U i ∩ (U 1 + ... + U i + ... + U n ) = 0 .   В этом случае U
обозначается                            как         U 1 ⊕ U 2 ⊕ ... ⊕ U n          или             ⊕ in=1 U i .    (Здесь
           )
U1 + ... + U i + ... + U n = U1 + ... + U i −1 + U i +1 + ... + U n .)

 Отметим два важных свойства прямых сумм.


 Свойство 7.2. Сумма                             U = U 1 + ... + U n   является прямой т. и т.т., ко-
гда любой вектор u ∈ U единственным образом представляется в
виде суммы                u = u1 + u 2 + ... + u n , ui ∈U i ,     i=1,…,n.
 Доказательство. Пусть                                       U = ⊕ in=1U i .   Если      u = u1 + ... + u n = u '1 +... + u 'n

два разложения вектора u, то для любого                                                       i ∈{1,2,..., n} ,   имеем:

               ∑
                   n
u i − u 'i =       j =1 (u ' j −u j )   . Из этого равенства следует, что вектор                                   u i − u 'i ,
                   j ≠i