Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 18 стр.

 Каждому вектору m = ( x10 ,..., xs0 , y10 ,..., yt0 ) ∈ M поставим в соответствие

                ∑
                  s
вектор     x=         x 0u
                  i =1 i i
                             . Легко проверить (проделайте это сами), что ука-

занное соответствие определяет изоморфизм пространств M и U∩W.
В силу теоремы 4.3. dim k M = dim k U ∩ W и мы приходим к следую-
щему утверждению:
 Теорема 6.2. Если U и W конечномерные подпространства про-
странства V, то              dim k U ∩ W = dim k U + dim k W − dim k (U + W ) .

 Из доказательства теоремы вытекает способ построения базиса
пересечения U∩W. Действительно, если                                m j = ( x1( j ) ,..., xs( j ) , y1( j ) ,..., yt( j ) ) ∈ M   ,

где j=1, …, (s+t)–r, фундаментальная система решений для (6.1), то
в силу изоморфизма M и U∩W, набор
                                         s
                                x ( j ) = ∑ xi( j ) u i , j=1, …, (s+t)–r,
                                        i =1


 является базисом пересечения U∩W.
 Пример. Базис пространства U: u1 = (1,1,2) , u2 = (0,1,−1) . Базис про-
странства W : w1 = (1,2,1) , w2 = (1,0,1) .
 Вычисляя ранг матрицы, составленной из координат векторов
u1 , u2 , w1 , w2 , получим, что u1 , u2 , w2 образуют максимальную линейно

независимую систему векторов. Т.е. базис U+W образуют вектора
u1 , u2 , w2 и dim k (U + W ) = 3 .

 Из формулы теоремы 6.2 сразу получаем, что                                         dim k (U ∩ W ) = 1 .            Одна-
ко для нахождения базиса пересечения U∩W необходимо решить
систему 6.1:
                                       ⎛1⎞        ⎛0⎞        ⎛1⎞         ⎛1⎞
                                    x1 ⎜ 1 ⎟ + x2 ⎜ 1 ⎟ = y1 ⎜ 2 ⎟ + y 2 ⎜ 0 ⎟
                                       ⎜ 2⎟       ⎜ − 1⎟     ⎜1⎟         ⎜1⎟
                                       ⎝ ⎠        ⎝ ⎠        ⎝ ⎠         ⎝ ⎠