Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 16 стр.

 6. Сумма и пересечение пространств


 Пусть U некоторое подмножество в векторном пространстве V.
Будем говорить, что U является подпространством в V, если оно яв-
ляется линейным пространством (т.е. выполняются все восемь акси-
ом определения 1.1) относительно операций сложения и умножения
на скаляр, которые определены в V.
 Имеет место следующий критерий того, что подмножество U яв-
ляется подпространством.
 Критерий (подпространства) 6.1. Подмножество U векторного
пространства V является подпространством т. и т.т., когда для
любых векторов u1 , u2 ∈ U           и любых скаляров α1 ,α 2 ∈ k                 вектор
α1u1 + α 2 u2 принадлежит V .

 Проверить самостоятельно.
 Естественным примером линейного подпространства является ли-
нейная оболочка векторов. Пусть v1 ,..., vm некоторый фиксированный
набор векторов пространства V. Назовем линейной оболочкой сис-
                                                                       m
темы векторов v1 ,..., vm множество всевозможных сумм                  ∑λ v ,λ ∈k .
                                                                       i =1
                                                                              i i    i


             m             m                        m                         m
Если v = ∑ λi vi , v' = ∑ λ 'i vi , то v + v ' = ∑ (λi + λ 'i )vi , λv = ∑ ( λλi )vi ,
            i =1           i =1                    i =1                       i =1


λ ∈ k . Следовательно, это множество замкнуто относительно опера-
ции сложения векторов и умножения на скаляр. В силу критерия
6.1. это множество будет подпространством. В дальнейшем оно бу-
дет обозначаться символом < v1 , v2 ,..., vm > .
 Легко видеть, что максимальная линейно независимая система век-
торов из набора v1 , v2 ,..., vm остается максимальной линейно незави-
симой системой во всем пространстве < v1 , v2 ,..., vm > . Это дает воз-
можность эффективно строить базис в линейных оболочках.