Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 6 стр.

 Проверим эквивалентность этих определений при m>1. Пусть вы-
полнено определение 2.1. Т.к. набор (α 1 ,..., α m ) ненулевой, то суще-
ствует номер j такой, что α j ≠ 0 . Разделив соотношение (2.1) на α j и

переместив слагаемые с номерами, отличными от j, в правую часть
этого соотношения, получим:
         α1            α j −1          α j +1               α
vj = −      v1 − ... −        v j −1 −        v j +1 − ... − m v m . Т.е. выполняется
         αj            αj              αj                   αj

соотношение (2.2).
 Если имеет место соотношение (2.2), то, переместив вектор v j в

правую часть этого соотношения, получим:
α 1 v1 + ... + α j −1v j −1 − v j + α j +1v j +1 + ... + α m v m = 0 . Последнее равенство пока-

зывает, что определение 2.1 выполнено, т.к. набор
(α 1 ,..., α j −1 ,−1, α j +1 ,..., α m ) очевидно ненулевой.

 Отметим некоторые свойства линейной зависимости.
 Свойство 2.1. Если некоторая подсистема векторов линейно за-
висима, то и вся система векторов также линейно зависима.
 Доказательство. Пусть, например, первые s векторов всей
системы линейно зависимы, т.е.
                                     α 1 v1 + α 2 v 2 + ... + α s v s = 0 ,

 где не все α i равны нулю. Перепишем последнее соотношение
следующим образом:
                       α 1 v1 + α 2 v 2 + ... + α s v s + 0 ⋅ v s +1 + ... + 0 ⋅ v m = 0 .

 Мы получили нетривиальную линейную зависимость системы век-
торов v1,…,vs ,…,vm.
 Заметим, что мы воспользовались условием 0·v=0, которое получа-
ется      с    помощью            дистрибутивности                    умножения,             а   именно
0·v=(0+0)·v=0·v+ 0·v.