Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 7 стр.

 Свойство 2.2. Любая подсистема линейно независимой системы
векторов сама линейно независима.
 Доказательство. Непосредственно следует из предыдущего
(рассуждение от противного).
 Свойство 2.3. Система векторов, содержащая нулевой вектор,
линейно зависима.
 Утверждение легко вытекает из свойства 2.1, если заметить, что
нулевой вектор представляет линейно зависимую систему.
 Свойство 2.4. Если векторы v1,v2,…,vk                 линейно независимы, а
v1,v2,…,vk,v линейно зависимы, то вектор v линейно выражается че-
рез v1,v2,…,vk.
 Доказательство.                В силу линейной зависимости векторов
v1 ,..., v k , v существует ненулевой набор (α 1 ,...,α k ,α ) ≠ (0,...,0,...,0) , что

α 1 v1 + α 2 v 2 + ... + α k v k + αv = 0 . Если α ≠ 0 , то утверждение очевидно.

Если же α = 0 , то из линейной независимости векторов v1 ,..., v k сле-
дует, что α1 = ... = α k = 0 . Это противоречит условию нетривиальности
набора (α1 ,...,α k ,α ) .
 3. Базис и размерность


 Важнейшей характеристикой линейного пространства является по-
нятие размерности. Чтобы ввести это понятие, нам потребуется сле-
дующая лемма.
 Лемма (о замене) 3.1. Если векторы системы U = {u1 ,K, un } линейно
независимы и линейно выражаются через векторы системы
W = {w1 ,K, wm } , то n ≤ m .

 Доказательство. Доказательство будем вести индукцией по
m. При m=1 имеем u1 = λ1w1, u2 = λ2 w1,..., un = λn w1 . Все коэффициенты λ j

отличны от нуля, т.к. в противном случае система векторов содер-