Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 8 стр.

жала бы нулевой вектор, что противоречит линейной независимости
U, в силу следствия 2.3. Предположим, что n > m = 1 . Тогда
λ2 u1 − λ1u2 = λ2 λ1 w1 − λ1λ2 w1 = 0 , т.е. подсистема {u1 ,u 2 } – линейно зави-

сима. Опять получаем противоречие с линейной независимостью U
(см. свойство 2.2.).
 Предположим, что лемма верна для систем W с m-1 векторами и
докажем ее для систем с m векторами. Пусть в соотношениях
                                           u1 = λ11 w1 + ... + λ1m wm
                                           ...............................
                                           un = λn1 w1 + ... + λnm wm

 все коэффициенты λim = 0, i = 1,..., n . Тогда по предположению ин-
дукции n ≤ m − 1 < m . Если для некоторого i λim ≠ 0 , то, меняя нумера-
цию, будем считать, что i=n, λnm ≠ 0 . Рассмотрим новую систему
                                                                       λim
векторов          U ' = {u'1 ,...u' n −1 } ,   где      u ' i = ui −       u ,            i = 1,..., n − 1 .   Тогда
                                                                       λnm n
       m −1
u' i = ∑ μ ij w j , i = 1,..., n − 1 , т.к. после приведения подобных членов ко-
       j =1


эффициенты в выражении для u'i при wm будут равны нулю.
 Проверим               линейную                независимость                       системы               векторов
U ' = {u'1 ,...u' n −1 } . Предположим, что она линейно зависима, т.е. суще-

ствует            ненулевой                    набор            (α1 , α 2 ,..., α n−1 )         такой,           что
α1u'1 +α 2 u' 2 +... + α n −1u' n −1 = 0 . Подставим вместо u' i их                                  выражения:
       λim
ui −       u . Получим α 1u1 + ... + α n −1u n −1 + βu n = 0 . В силу линейной неза-
       λnm n

висимости системы U = {u1 ,...un } последнее соотношение возможно
только в случае, когда α1 = ... = α n −1 = β = 0 . Это противоречит тому,
что (α1 ,..., α n −1 ) ≠ (0,...,0) .