Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 76 стр.

мальных вида квадратичной формы q и предположим, что t < s . Это
означает, что существуют два базиса e1 ,..., en и e1′ ,..., en′ пространства
V, на котором определена форма q, такие, что значения соответст-
вующей билинейной формы f = f q на базисных элементах следую-

щие: f (ei , ei ) = 1, i = 1,..., s, f (ei , ei ) = −1, i = s + 1,..., r, f (ei , ei ) = 0, i > r; соот-
ветственно: f (ei′, ei′ ) = 1, i = 1,..., t, f (ei′, ei′ ) = −1, i = t + 1,..., r, f (ei′, ei′ ) = 0, i > r.
Кроме того, f (ei , e j ) = f (ei′, e′j ) = 0, i ≠ j. .

 Рассмотрим в V подпространства L = e1 ,..., es , L′ = et′+1 ,..., en′ . Так как

dim(L + L′) ≤ dim V = n , то по теореме 6.2 из главы 1 имеем:

           dim(L I L′) = dim L + dim L′ − dim( L + L′) ≥ s + (n − t ) − n = s − t > 0 .

 Стало быть, существует ненулевой вектор a ∈ L I L′ , для которого
возможны два представления: a = a1e1 + ... + a s es = at′+1et′+1 + ... + a n′ en′ . В
силу первого разложения получим
                          n
q( a ) = f (a , a ) =   ∑a a       i   j   f ( ei , e j ) = a12 + ... + a s2 > 0 .
                        i , j =1



                                                          ∑ a ′a ′ f (e′, e′ ) = −(a ′ )
                                                            n
 А из второго q(a ) = f (a, a ) =                                                                 − ... − (a r′ ) ≤ 0 .
                                                                                              2               2
                                                                     i   j     i   j   t +1
                                                          i , j =1


(Возможно, что r < n и at′+1 = ... = a r′ = 0 ). Из полученного противоре-
чия следует, что t ≥ s . Проводя аналогичные рассуждения для слу-
чая t > s , получим t ≤ s . Следовательно, t = s , что доказывает сфор-
мулированную теорему.
 4. Положительно определенные квадратичные формы


 Определение 4.1. Пусть                                q :V → k              квадратичная форма на V со зна-

чением в k и F = [ fij ] — матрица этой квадратичной формы отно-

сительно некоторого фиксированного базиса. Тогда i-тым главным
минором формы q называется определитель