Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 78 стр.

                               ……………………………….
                                          f1,i −1c1i + f 2,i −1c2i + ... + f i ,i −1cii = 0

                              f1i c1i + f 2i c2i + ... + f ii cii = 1

 Определитель этой системы равен Δ i , который по условию теоре-
мы отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное
решение, что обеспечивает канонический вид формы q . В частно-
сти, вычисляя по правилу Крамера неизвестное cii , имеем
                                             f11      K          f i −1,1     0
                                             f12      K         f i −1, 2     0
                                                      L            L
                                           f1, i −1   K        f i −1, i −1   0
                                            f1, i     K          f i −1, i    1       Δ i −1
                                  cii =                                           =          , i > 1.
                                                          Δi                           Δi

 При i = 1 , система сводится к одному уравнению f11c11 = 1 . Откуда
            1    1                                       ⎛      i           ⎞
c11 =          =   . Но f ii′ = f (ei′, ei′ ) =       f ⎜⎜ ei′, ∑ c ji e j ⎟⎟ =
            f11 Δ1                                       ⎝ j =1             ⎠
        i
 = ∑ f (ei′, e j )c ji = cii . Итак, коэффициенты f ii′ канонического вида
    j =1


формы q в базисе e1′ ,..., en′ равны cii и, следовательно, имеют вид, ука-
занный в теореме.
 Применим полученный результат для вывода необходимого и дос-
таточного условия положительной определенности квадратичной
формы, заданной на вещественном пространстве.
 Определение 4.2. Квадратичная форма q : V → R на веществен-
ном пространстве V называется положительно определенной, ко-
гда q( x ) > 0 для любого x ∈ V , x ≠ 0 .
 Теорема 4.2. Квадратичная форма q на n-мерном вещественном
пространстве V положительно определена тогда и только тогда,
когда ее нормальный вид есть: (x1′ )2 + (x2′ )2 + ... + (xn′ )2 .