Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 79 стр.

 Доказательство. Пусть q( x ) > 0 для любого ненулевого x ∈ V .
Нормальный вид формы q в некотором базисе e1′ ,..., en′ есть

(x1′ )2 + ... + (x s′ )2 − (x s′+1 ) − ... − (x r′ )2 . Если    r < n , то q( en′ ) = 0 . Если r = n , но

s < n , то q( en′ ) < 0 . Оба случая противоречат положительной опреде-

ленности формы q, то есть s = r = n . Достаточность доказывается
еще проще.
 Теорема 4.3. (Критерий Сильвестра) Квадратичная форма q на
n-мерном вещественном пространстве V положительно определе-
на тогда и только тогда, когда все главные миноры                                               Δ1 ,..., Δ n   ее мат-
рицы F строго положительны.
 Доказательство. Пусть все                                  Δ i > 0, i = 1,..., n .    Тогда, используя ме-
тод Якоби, можно найти базис e1′ ,..., en′ , в котором

q ( x′) =
            Δ0
               (x1′ )2 + Δ1 (x2′ )2 + ... Δ n−1 (x′n )2 , Δ 0 = 1 . Сделав замену переменных
            Δ1           Δ2               Δn

         Δ i −1
                xi′ , i = 1,..., n ,   получим:     q( x′′) = (x1′′) + ... + (xn′′ )      . Отсюда, в силу тео-
                                                                     2                2
xi′′ =
          Δi

ремы 4.2, получим что q - положительно определена.
 Необходимость докажем индукцией по dim V = n.
 При n = 1 форма q( x ) имеет вид f11 x12 . Если q( x ) > 0 , то f11 = Δ1 > 0 .
Что доказывает теорему в этом случае. При n > 1 рассмотрим под-
                                  ⎧       n
                                                            ⎫
пространство U = ⎨ x = ∑ xi ei | xn = 0⎬ . Матрица ограничения квадра-
                                  ⎩      i =1               ⎭

                                                ⎡ f11 K             f1, n −1 ⎤
тичной формы q |U равна                         ⎢ L L                 L ⎥.         По предположению ин-
                                                ⎢f       K        f n −1, n −1 ⎥
                                                ⎣ n −1,1                       ⎦

дукции все главные миноры этой матрицы строго положительны.
Но они являются минорами                          Δ1 , Δ 2 ,..., Δ n −1   матрицы F. Осталось прове-
рить положительность последнего главного минора Δ n , который
совпадает с определителем |F| матрицы F. По теореме 4.2 нормаль-