Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 77 стр.

                                                      f11 K        f1i
                                             Δi = K K K .
                                                  f i1 K f ii



 Теорема 4.1.(Метод Якоби) Если все главные миноры                                                      Δ1 ,..., Δ n

квадратичной формы                     q = X t FX     отличны от нуля, то существует
базис e1′ ,..., en′ пространства V, в котором форма q имеет вид:

q=
     1
        (x1′ )2 + Δ1 (x ′2 )2 + ... Δ n−1 (x′n )2 .
     Δ1           Δ2                Δn

 Доказательство. Обозначим через f билинейную форму на
пространстве V, соответствующую заданной квадратичной форме q.
Тогда элементы f ij матрицы F есть значения билинейной формы f на

парах базисных векторов (ei , e j ) , то есть f ij = f (ei , e j ) . Построим ба-

зис e1′ ,..., en′ , такой что f (ei′, e′j ) = 0, i ≠ j . Будем искать его в виде:
 e1′ = c11e1

 e2′ = c12 e1 + c22 e2

 ……………..
 en′ = c1n e1 + c2 n e2 + ... + cnn en

 Потребуем, чтобы для элементов ei′, i = 1,..., n выполнялись условия:
                                                                                  ⎛     j
                                                                                                 ⎞
f (ei′ , et ) = 0, t = 1,..., i − 1 , f ( ei′, ei ) = 1 . Тогда f (ei′, e′j ) = f ⎜⎜ ei′, ∑ cmj em ⎟⎟ = 0, j < i . В
                                                                                  ⎝    m =1      ⎠

силу симметричности f получим, что f ( ei′, e′j ) = 0, j > i . Это обеспе-

чивает диагональность матрицы F ′ (матрица формы f в базисе
e1′ ,..., en′ ). Подставив выражения для новых базисных векторов ei′ че-

рез старые es в написанные выше условия, получим систему урав-
нений для нахождения коэффициентов cti :
                                       f11c1i + f 21c2i + ... + f i1cii = 0

                                       f12 c1i + f 22 c2i + ... + f i 2 cii = 0