Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 97 стр.

матрицу, столбцы которой есть координаты векторов                                e1′ ,..., e′n   в ста-
ром базисе.
 В этом алгоритме требует пояснения пункт 3, в котором предпола-
гается, что количество векторов фундаментальной системы для
( A − λi E )X = 0 совпадает с кратностью характеристического корня                                λi .

 Пусть k j - кратность характеристического корня λ j , а rj - ранг мат-

рицы A − λ j E . Тогда число векторов фундаментальной системы

решений для однородной системы уравнений                          (A − λ E )X = 0
                                                                           j         равно

n − rj ,   где n – размер матрицы A или n=dim V. (V – соответствующее

евклидово пространство). Так как




 то ранг (A′ − λ j E ) равен n − k j , то есть совпадает с количеством не-
нулевых элементов на диагонали.
 Но ранг        (A′ − λ E )
                        j     равен рангу          (A − λ E ) = r .
                                                           j          j   То есть n − k j = rj .

Следовательно, k j = n − rj = dim{v ∈ V , (A − λ j E )v = 0}.

 Второе замечание касается пункта 4. Достаточно ортогонализиро-
вать не всю систему собственных векторов, а только подсистемы
векторов, относящихся к одному собственному значению. Действи-
тельно, собственные вектора симметрического оператора, отвечаю-
щие различным собственным значениям, уже ортогональны. Если x,
y такие вектора для симметрического оператора φ, причем
ϕx = λx,ϕy = μy, λ ≠ μ ,      то     из    соотношения            (ϕx | y ) = (x | ϕy ) имеем
λ ( x | y ) = μ ( x | y ) , то есть ( x | y ) = 0 , так как λ ≠ μ .