ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример:
323121
2
3
2
2
2
1
444)( xxxxxxxxxxq +++++=
1. Матрица формы :q
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
122
212
221
A .
2.
Характеристический многочлен 533
2
+++−=−
λλλλ
EA . Корни
характеристического многочлена:
5,1
321
=
−
=
=
λ
λ
λ
.
3.
Нахождение фундаментальной системы решений:
А)
1−=
λ
. Система приводится к виду: 0
321
=
+
+
xxx . Ее фундамен-
тальная система решений:
)1,0,1(),0,1,1(
21
−
=
−
=
ff .
Б)
5=
λ
. Система приводится к виду:
02
02
321
321
=+−
=
+
+
−
xxx
xxx
Ее фундаментальная система решений:
)1,1,1(
3
=
f
.
4.
Так как
()()
0||
3231
== ffff
, то ортогонализуем пару векторов
21
, ff
.
Получим:
(
)
)2,1,1(,0,1,1
21
−
−=
−
= bb
. Нормируя вектора b
1
, b
2
, f
3
, получим
окончательный ортонормированный базис
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
′
0,
2
1
,
2
1
1
e
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
′
6
2
,
6
1
,
6
1
2
e ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
′
3
1
,
3
1
,
3
1
3
e .
5.
Квадратичная форма в новом базисе имеет вид:
() () ()
2
3
2
2
2
1
5)( xxxxq
′
+
′
−
′
−=
′
, матрица перехода к новому базису
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
3
1
6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
T . Непосредственным вычислением можно убе-
диться, что
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
500
010
001
ATT
t
.
Пример: q( x) = x12 + x22 + x32 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3
⎡1 2 2 ⎤
1.Матрица формы q : A = ⎢ 2 1 2⎥ .
⎢⎣2 2 1 ⎥⎦
2.Характеристический многочлен A − λE = −λ + 3λ2 + 3λ + 5 . Корни
характеристического многочлена: λ1 = λ2 = −1, λ3 = 5 .
3.Нахождение фундаментальной системы решений:
А) λ = −1 . Система приводится к виду: x1 + x2 + x3 = 0 . Ее фундамен-
тальная система решений: f1 = ( −1,1,0), f 2 = ( −1,0,1) .
− 2 x1 + x2 + x3 = 0
Б) λ = 5 . Система приводится к виду: x1 − 2 x2 + x3 = 0
Ее фундаментальная система решений: f 3 = (1,1,1) .
4.Так как ( f1 | f 3 ) = ( f 2 | f 3 ) = 0 , то ортогонализуем пару векторов f1 , f 2 .
Получим: b1 = (− 1,1,0), b2 = (−1,−1,2) . Нормируя вектора b1, b2, f3, получим
⎛ 1 1 ⎞
окончательный ортонормированный базис e1′ = ⎜ − , ,0 ⎟ ,
⎝ 2 2 ⎠
⎛ 1 1 2 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞
e′2 = ⎜ − ,− , ⎟ , e3′ = ⎜ , , ⎟.
⎝ 6 6 6 ⎠ ⎝ 3 3 3⎠
5.Квадратичная форма в новом базисе имеет вид:
q( x′) = −(x1′ ) − (x2′ ) + 5( x3′ ) , матрица перехода к новому базису
2 2 2
⎡ 1 1 1 ⎤
⎢− 2 −
6 3⎥
⎢ ⎥
1 1 1 ⎥
T =⎢ . Непосредственным вычислением можно убе-
⎢ 2 6 3⎥
⎢ 2 1 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎣ 6 3⎦
⎡ − 1 0 0⎤
диться, что T AT = ⎢⎢ 0 − 1 0⎥⎥ .
t
⎢⎣ 0 0 5⎥⎦
