Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 96 стр.

f q ( ei , e j ) = aij . По теореме 7.1 существует ортонормированный базис

e1′ ,..., en′ , в котором матрица A' симметричного оператора, определяе-

мого матрицей A, диагональна, причем A' = T −1 AT , где T матрица пе-
рехода к новому базису e1′ ,..., en′ . Так как оба базиса ортонормирован-
ны, то матрица T – ортогональна, то есть                     T −1 = T t .   Таким образом
⎡λ1   0⎤
⎢   O     ⎥ = A′ = T t AT .   Но последнее соотношение задает изменение
⎢0    λn ⎥⎦
⎣

матрицы квадратичной формы под действием преобразования T. То
есть, если (x1, …, xn)t=T(x1’ , …, xn’)t, где (x1′ ,..., xn′ ) координаты векто-
ра x в новом базисе, то q( x ) = λ1 ( x1′ ) 2 + ... + λn ( xn′ ) 2 . Причем λ1 ,..., λn —
характеристические корни матрицы A, так как A’ и A — подобны.
 Из диагональности матрицы A′ следует, что e1′ ,..., en′ — есть собст-
венные вектора соответствующего симметрического оператора, а их
координаты в исходном базисе e1 ,..., en - это элементы матрицы
        n
T: ei′ = ∑ t ji e j , i = 1,..., n . Таким образом, можно сформулировать сле-
       j =1


дующий алгоритм приведения квадратичной формы к каноническо-
му виду (к главным осям).

                                                                       ∑
                                                                            n
 1.    Записать матрицу A квадратичной формы                      q=                a xx
                                                                            j , i =1 ij i j
                                                                                              .

 2.    Найти корни характеристического многочлена этой матрицы.
 3.    Для каждого характеристического корня λi найти фундамен-
тальную          систему      решений         однородной        системы              уравнений
( A − λi E )X   = 0.

 4.    Ортонормировать эту систему: e1′ ,..., en′ .

                                      ∑
                                          n
 5.    Канонический вид          q=         λ   y2
                                          i =1 i i
                                                     , а преобразование X=TY, приво-

дящее q к такому каноническому виду, имеет в качестве матрицы T