Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 94 стр.

произведением конечного числа отражений и конечного числа по-
воротов.
 7. Самосопряженные (симметрические) операторы


 Определение 7.1. Пусть V – эрмитово (евклидово) пространство.
Оператор ϕ ∈ End (V ) называется самосопряженным (симметриче-
ским), если ϕ = ϕ * .
 Заметим, что условие самосопряженности (симметричности) рав-
носильно соотношению: (ϕx | y ) = (x | ϕy ), x, y ∈ V . Для матрицы самосо-
пряженного            оператора         в       ортонормированном                базисе   имеем:
Aϕ * = Aϕt = Aϕ .         Т.е.   aij = a ji ,     i, j = 1,..., n, n = dim V ,    в   частности

aii ∈ R, i = 1,..., n .

 Для матрицы симметрического оператора эти условия выглядят
так: a ji = aij , i, j = 1,..., n, n = dim V . Получаем обычное определение
симметрической матрицы.
 Теорема 7.1. Пусть V - унитарное (евклидово) пространство.
Оператор ϕ ∈ End (V ) является самосопряженным (симметрическим)
тогда и только тогда, когда существует ортонормированный ба-
зис, в котором матрица
                                             ⎡λ1    0⎤
                                        Aϕ = ⎢    O     ⎥,
                                             ⎢          ⎥
                                             ⎣⎢ 0   λn ⎦⎥

  причем все λi - вещественны.
 Доказательство. Из самосопряженности (симметричности)
оператора ϕ вытекает его нормальность. Поэтому можно восполь-
зоваться теоремами 2.1 и 4.1.
 В первом случае сразу получаем необходимый диагональный вид
матрицы