Линейные операторы. Учебное пособие. Корешков Н.А. - 92 стр.

котором матрица Aϕ имеет блочно-диагональный вид, причем блоки

                                                      ⎡ a − b⎤
на диагонали равны либо [λ ], λ ∈ R , либо ⎢                    , a, b ∈ R .
                                           ⎣b              a ⎥⎦

 Кроме того, из ортогональности оператора ϕ имеем Aϕ = Aϕ . Но                     *    −1




Aϕ * = Aϕt = Aϕt , то есть Aϕt = Aϕ −1 = Aϕ−1 . Следовательно, для каждого диа-

гонального блока получим:
                                    −1
                   ⎡ a − b⎤               ⎡ a b⎤
 Либо λ = λ , либо ⎢
                −1
                          ⎥              =⎢      ⎥ . Из этих соотношений легко
                   ⎣b a ⎦                 ⎣− b a ⎦

                                    ⎡a − b⎤ ⎡cos α         − sin α ⎤
получить либо λ = ±1 , либо ⎢               =                        .
                            ⎣b          a ⎥⎦ ⎢⎣ sin α       cos α ⎥⎦

 Обратно, пусть матрица оператора Aϕ — блочно-диагональная и

                                        ⎡cos α   − sin α ⎤
блоки равны либо [± 1] , либо ⎢                          ⎥ . Тогда матрица Aϕ−1 также
                              ⎣ sin α             cos α ⎦

блочно-диагональная и соответствующие блоки равны либо [± 1] ,
      ⎡ cos α        sin α ⎤
либо ⎢               ⎥ . То есть матрица Aϕ−1 совпадает с Aϕt — матри-
     ⎣ − sin α cos α ⎦
цей, транспонированной к Aϕ . Но Aϕt = Aϕ (если базис ортонормиро-
                                                      *




ванный), следовательно ϕ * = ϕ −1 . Что доказывает ортогональность
оператора φ.
 Полученному              результату        можно         придать            определенный
геометрический смысл.
 Представим матрицу P произвольного ортогонального оператора
ϕ в виде произведения          ∏ P , (соответственно ϕ = ∏ ϕ
                                i
                                    i
                                                                         i
                                                                             i   ), где каждое